Номер 510, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.9. Решение систем уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 510, страница 205.

510 $\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5. \end{cases}$

Указание. Преобразуйте левую часть первого уравнения, воспользовавшись тождеством $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b).$

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^3 + y^3 = 35 \\x + y = 5\end{cases}$$

Воспользуемся указанием и преобразуем левую часть первого уравнения с помощью тождества суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.

Применив это тождество к выражению $x^3 + y^3$, получим:

$$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$(x + y)^3 - 3xy(x + y) = 35$$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$$(5)^3 - 3xy(5) = 35$$

Выполним вычисления:

$$125 - 15xy = 35$$

Теперь решим это уравнение относительно произведения $xy$:

$$-15xy = 35 - 125$$$$-15xy = -90$$$$xy = \frac{-90}{-15}$$$$xy = 6$$

Теперь исходная система равносильна следующей, более простой системе:

$$\begin{cases}x + y = 5 \\xy = 6\end{cases}$$

Данная система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Найдем корни уравнения:

$$t_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$$$t_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Корни уравнения $t_1=2$ и $t_2=3$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что возможны две пары решений:

1. $x = 2$, $y = 3$.

2. $x = 3$, $y = 2$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для пары $(2, 3)$:

$2 + 3 = 5$ (Верно)

$2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$ (Верно)

Для пары $(3, 2)$:

$3 + 2 = 5$ (Верно)

$3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$ (Верно)

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.