Номер 512, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 512, страница 205.

Сократите дробь (512–514).

512 а) $ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} $;

б) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} $;

В) $ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} $;

Г) $ \frac{a^4 - b^4}{b^2 + a^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} $, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a+b)} $

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$):

$ \frac{\sout{(a-b)}(a^2 + ab + b^2)}{\sout{(a-b)}(a+b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель раскладывается по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)^2} $

Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a \neq -b$):

$ \frac{\sout{(a+b)}(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)^{\sout{2}}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a+b} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} $, разложим числитель на множители.

Числитель $m^4 - n^4$ можно представить как разность квадратов $(m^2)^2 - (n^2)^2$ и разложить по формуле разности квадратов:

$m^4 - n^4 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} = \frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)}{m^2 - n^2} $

Сократим общий множитель $(m^2 - n^2)$ (при условии, что $m^2 \neq n^2$):

$ \frac{\sout{(m^2 - n^2)}(m^2 + n^2)}{\sout{m^2 - n^2}} = m^2 + n^2 $

Ответ: $ m^2 + n^2 $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^4 - b^4}{b^2 + a^2} $, разложим числитель на множители.

В знаменателе поменяем слагаемые местами для удобства: $b^2 + a^2 = a^2 + b^2$.

Числитель $a^4 - b^4$ раскладывается как разность квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2} = \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} $

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ (который не равен нулю, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):

$ \frac{(a^2 - b^2)\sout{(a^2 + b^2)}}{\sout{a^2 + b^2}} = a^2 - b^2 $

Ответ: $ a^2 - b^2 $