Номер 516, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 516, страница 205.

516 a)

$(\frac{a-2}{a^2-2a-3} - \frac{a-1}{a^2-a-6})(a^2+3a+2);$

б) $(\frac{b+6}{b^2-4a-5} - \frac{b+5}{b^2-5b-6})(b^2-11b+30).$

a)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала вычитание в скобках, а затем умножение.
1. Разложим на множители знаменатели дробей и многочлен за скобками. Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители $a(x-x_1)(x-x_2)$, найдем его корни.
Для $a^2-2a-3=0$, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$. Следовательно, $a^2-2a-3 = (a-3)(a+1)$.
Для $a^2-a-6=0$, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2-a-6 = (a-3)(a+2)$.
Для $a^2+3a+2=0$, корни $a_1 = -1$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$.
2. Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$(\frac{a-2}{(a-3)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-3)(a+2)}) \cdot (a+1)(a+2)$.
3. Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a-3)(a+1)(a+2)$:
$\frac{(a-2)(a+2) - (a-1)(a+1)}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{(a^2-4) - (a^2-1)}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{a^2-4-a^2+1}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{-3}{(a-3)(a+1)(a+2)}$.
4. Теперь выполним умножение полученной дроби на многочлен:
$\frac{-3}{(a-3)(a+1)(a+2)} \cdot (a+1)(a+2)$.
5. Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a+2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{-3}{a-3} = -\frac{3}{a-3}$.

Ответ: $-\frac{3}{a-3}$.

б)

Примечание: В знаменателе первой дроби $b^2-4a-5$ предположительно допущена опечатка. Исходя из структуры задания, будем считать, что правильный вид знаменателя — $b^2-4b-5$.
1. Разложим на множители знаменатели дробей и многочлен за скобками.
Для $b^2-4b-5=0$, корни $b_1 = 5$ и $b_2 = -1$. Следовательно, $b^2-4b-5 = (b-5)(b+1)$.
Для $b^2-5b-6=0$, корни $b_1 = 6$ и $b_2 = -1$. Следовательно, $b^2-5b-6 = (b-6)(b+1)$.
Для $b^2-11b+30=0$, корни $b_1 = 5$ и $b_2 = 6$. Следовательно, $b^2-11b+30 = (b-5)(b-6)$.
2. Подставим разложения в выражение:
$(\frac{b+6}{(b-5)(b+1)} - \frac{b+5}{(b-6)(b+1)}) \cdot (b-5)(b-6)$.
3. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(b-5)(b-6)(b+1)$ и выполним вычитание. В числителе применим формулу разности квадратов:
$\frac{(b+6)(b-6) - (b+5)(b-5)}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{(b^2-36) - (b^2-25)}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{b^2-36-b^2+25}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{-11}{(b-5)(b-6)(b+1)}$.
4. Выполним умножение:
$\frac{-11}{(b-5)(b-6)(b+1)} \cdot (b-5)(b-6)$.
5. Сократим общие множители $(b-5)$ и $(b-6)$:
$\frac{-11}{b+1} = -\frac{11}{b+1}$.

Ответ: $-\frac{11}{b+1}$.