Номер 515, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 515, страница 205.

Упростите выражение (515—517).

515 а) $ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{x^2-x-20} $

б) $ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{21-4a-a^2} $

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{x^2 - x - 20} $, сначала разложим на множители знаменатель второй дроби.

Знаменатель $ x^2 - x - 20 $ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $ x^2 - x - 20 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -20. Легко подобрать корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -4 $.

Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $ x^2 - x - 20 = (x-5)(x+4) $.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{(x-5)(x+4)} $

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, которым является $ (x-5)(x+4) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (x+4) $:

$ \frac{1 \cdot (x+4)}{(x-5)(x+4)} - \frac{9}{(x-5)(x+4)} = \frac{x+4-9}{(x-5)(x+4)} $

Упростим числитель:

$ \frac{x-5}{(x-5)(x+4)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-5) $, при условии, что $ x \neq 5 $:

$ \frac{1}{x+4} $

Ответ: $ \frac{1}{x+4} $

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{21 - 4a - a^2} $, разложим на множители знаменатель второй дроби.

Для удобства вынесем -1 за скобки в знаменателе $ 21 - 4a - a^2 $:

$ 21 - 4a - a^2 = -(a^2 + 4a - 21) $

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $ a^2 + 4a - 21 $. Найдем его корни, решив уравнение $ a^2 + 4a - 21 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -21. Корни: $ a_1 = -7 $ и $ a_2 = 3 $.

Значит, $ a^2 + 4a - 21 = (a - (-7))(a-3) = (a+7)(a-3) $.

Таким образом, знаменатель второй дроби равен $ -(a+7)(a-3) $.

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{-(a+7)(a-3)} $

Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак операции с вычитания на сложение:

$ \frac{1}{a+7} + \frac{10}{(a+7)(a-3)} $

Общий знаменатель для этих дробей — $ (a+7)(a-3) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-3) $:

$ \frac{1 \cdot (a-3)}{(a+7)(a-3)} + \frac{10}{(a+7)(a-3)} = \frac{a-3+10}{(a+7)(a-3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{a+7}{(a+7)(a-3)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+7) $, при условии, что $ a \neq -7 $:

$ \frac{1}{a-3} $

Ответ: $ \frac{1}{a-3} $