Номер 514, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 514, страница 205.

514 a) $ \frac{a^2 + b^2 + 2ab - c^2}{a+b+c} $;

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 2xy - c^2}{x^2 - y^2 - c^2 - 2yc} $;

В) $ \frac{a^3 + ab^2 - 2a^2b}{a^3 - ab^2} $.

а)

Рассмотрим числитель дроби: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2$. Сгруппируем первые три слагаемых: $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $(a+b)^2$. Таким образом, числитель принимает вид $(a+b)^2 - c^2$.
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$.
Получаем: $(a+b-c)(a+b+c)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c} $
Сократим общий множитель $(a+b+c)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $a+b-c$

б)

Сначала преобразуем числитель: $x^2 + y^2 - 2xy - c^2$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) - c^2$. Выражение в скобках — это формула квадрата разности: $(x-y)^2$. Числитель принимает вид $(x-y)^2 - c^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((x-y)-c)((x-y)+c) = (x-y-c)(x-y+c)$.
Теперь преобразуем знаменатель: $x^2 - y^2 - c^2 - 2yc$. Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем минус за скобки: $x^2 - (y^2 + 2yc + c^2)$. Выражение в скобках — это формула квадрата суммы: $(y+c)^2$. Знаменатель принимает вид $x^2 - (y+c)^2$.
Это также разность квадратов, которую разложим на множители: $(x-(y+c))(x+(y+c)) = (x-y-c)(x+y+c)$.
Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $ \frac{(x-y-c)(x-y+c)}{(x-y-c)(x+y+c)} $
Сократим общий множитель $(x-y-c)$.

Ответ: $\frac{x-y+c}{x+y+c}$

в)

Разложим на множители числитель: $a^3 + ab^2 - 2a^2b$. Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a^2 + b^2 - 2ab)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, числитель равен $a(a-b)^2$.
Теперь разложим на множители знаменатель: $a^3 - ab^2$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках — это разность квадратов, которая раскладывается как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, знаменатель равен $a(a-b)(a+b)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $ \frac{a(a-b)^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b)(a-b)}{a(a-b)(a+b)} $
Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$