Номер 520, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 520, страница 206.

520 Найдите наименьшее значение выражения

$a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$

и укажите пару значений $a$ и $b$, при которых оно достигается.

Указание. Выделите в выражении квадраты двучленов.

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения, воспользуемся методом выделения полного квадрата, как предложено в указании.

Исходное выражение: $a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и с переменной $b$:

$(a^2 - 2a) + (b^2 + 4b) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для каждой группы.

Для группы с $a$: выражение $a^2 - 2a$ можно дополнить до полного квадрата $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Для этого прибавим и вычтем 1:

$a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1$

Для группы с $b$: выражение $b^2 + 4b$ можно дополнить до полного квадрата $(b+2)^2 = b^2 + 4b + 4$. Для этого прибавим и вычтем 4:

$b^2 + 4b = (b^2 + 4b + 4) - 4 = (b+2)^2 - 4$

Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$((a-1)^2 - 1) + ((b+2)^2 - 4) + 10 = (a-1)^2 + (b+2)^2 - 1 - 4 + 10$

Упростив константы, получим:

$(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5$

Выражения $(a-1)^2$ и $(b+2)^2$ являются квадратами, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ и $(b+2)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение суммы $(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5$ будет достигаться тогда, когда оба слагаемых в скобках равны нулю.

Наименьшее значение $(a-1)^2$ равно 0, оно достигается при $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Наименьшее значение $(b+2)^2$ равно 0, оно достигается при $b + 2 = 0$, то есть $b = -2$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 0 + 5 = 5$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 5 и достигается при $a=1$ и $b=-2$.