Страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

519 Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):

a) $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ при $x = 3$ и $y = 6$; $x = -2$ и $y = 4$; $x = 15$ и $y = 15$; $x = 0,2$ и $y = 0,3$;

б) $\frac{a - \frac{b^2}{a}}{b - \frac{a^2}{b}}$ при $a = 4$ и $b = -1$; $a = 0$ и $b = 10$; $a = 1,5$ и $b = 0,3$; $a = -16$ и $b = 16$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$, $y \ne 0$ и $x \ne y$.
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{y+x}{xy} : \frac{y-x}{xy} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x} = \frac{y+x}{y-x}$.
Теперь подставим заданные значения переменных в упрощенное выражение, предварительно проверив их на соответствие ОДЗ.

при x = 3 и y = 6:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{6+3}{6-3} = \frac{9}{3} = 3$.
Ответ: 3

при x = -2 и y = 4:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{4+(-2)}{4-(-2)} = \frac{4-2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

при x = 15 и y = 15:
Так как $x = y$, это значение не входит в ОДЗ. Знаменатель дроби $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ обращается в ноль. Деление на ноль невозможно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

при x = 0,2 и y = 0,3:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{0,3+0,2}{0,3-0,2} = \frac{0,5}{0,1} = 5$.
Ответ: 5

б)

Сначала упростим данное выражение. ОДЗ: $a \ne 0$, $b \ne 0$ и $a^2 \ne b^2$ (т.е. $a \ne b$ и $a \ne -b$).
$\frac{a - \frac{b^2}{a}}{b - \frac{a^2}{b}} = \frac{\frac{a^2-b^2}{a}}{\frac{b^2-a^2}{b}} = \frac{a^2-b^2}{a} \cdot \frac{b}{b^2-a^2} = \frac{a^2-b^2}{a} \cdot \frac{b}{-(a^2-b^2)} = -\frac{b}{a}$.
Теперь подставим заданные значения переменных, предварительно проверив их на соответствие ОДЗ.

при a = 4 и b = -1:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

при a = 0 и b = 10:
Так как $a=0$, это значение не входит в ОДЗ. В исходном выражении в члене $\frac{b^2}{a}$ происходит деление на ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

при a = 1,5 и b = 0,3:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$-\frac{b}{a} = -\frac{0,3}{1,5} = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$

при a = -16 и b = 16:
Так как $a = -b$, это значение не входит в ОДЗ. Знаменатель исходного выражения $b - \frac{a^2}{b}$ обращается в ноль: $16 - \frac{(-16)^2}{16} = 16 - \frac{256}{16} = 16 - 16 = 0$. Деление на ноль невозможно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

520 Найдите наименьшее значение выражения

$a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$

и укажите пару значений $a$ и $b$, при которых оно достигается.

Указание. Выделите в выражении квадраты двучленов.

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения, воспользуемся методом выделения полного квадрата, как предложено в указании.

Исходное выражение: $a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и с переменной $b$:

$(a^2 - 2a) + (b^2 + 4b) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для каждой группы.

Для группы с $a$: выражение $a^2 - 2a$ можно дополнить до полного квадрата $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Для этого прибавим и вычтем 1:

$a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1$

Для группы с $b$: выражение $b^2 + 4b$ можно дополнить до полного квадрата $(b+2)^2 = b^2 + 4b + 4$. Для этого прибавим и вычтем 4:

$b^2 + 4b = (b^2 + 4b + 4) - 4 = (b+2)^2 - 4$

Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$((a-1)^2 - 1) + ((b+2)^2 - 4) + 10 = (a-1)^2 + (b+2)^2 - 1 - 4 + 10$

Упростив константы, получим:

$(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5$

Выражения $(a-1)^2$ и $(b+2)^2$ являются квадратами, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ и $(b+2)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение суммы $(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5$ будет достигаться тогда, когда оба слагаемых в скобках равны нулю.

Наименьшее значение $(a-1)^2$ равно 0, оно достигается при $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Наименьшее значение $(b+2)^2$ равно 0, оно достигается при $b + 2 = 0$, то есть $b = -2$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 0 + 5 = 5$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 5 и достигается при $a=1$ и $b=-2$.

521 Найдите наибольшее значение выражения $ \frac{1}{a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10} $.

При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

Чтобы найти наибольшее значение дроби $E = \frac{1}{a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10}$, необходимо найти наименьшее значение её знаменателя, поскольку числитель — положительная константа.

Рассмотрим знаменатель $D(a, b) = a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$. Для нахождения его наименьшего значения преобразуем выражение, выделив полные квадраты относительно переменных $a$ и $b$.

Сгруппируем слагаемые: $$ D(a, b) = (a^2 - 2a) + (b^2 + 4b) + 10 $$ Дополним каждую группу до полного квадрата, прибавляя и вычитая необходимые константы: $$ D(a, b) = (a^2 - 2a + 1) - 1 + (b^2 + 4b + 4) - 4 + 10 $$ Теперь свернем квадраты: $$ D(a, b) = (a - 1)^2 + (b + 2)^2 - 5 + 10 $$ $$ D(a, b) = (a - 1)^2 + (b + 2)^2 + 5 $$

Знаменатель $D(a, b)$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадраты) и положительного числа 5. Выражения $(a - 1)^2$ и $(b + 2)^2$ всегда больше или равны нулю ($ \ge 0 $). Следовательно, наименьшее значение знаменателя достигается, когда оба квадрата равны нулю. $$ D_{min} = 0 + 0 + 5 = 5 $$

Найдите наибольшее значение выражения

Наибольшее значение исходной дроби достигается при наименьшем значении её знаменателя. $$ E_{max} = \frac{1}{D_{min}} = \frac{1}{5} $$ Ответ: $\frac{1}{5}$.

При каких значениях a и b оно достигается?

Наименьшее значение знаменателя, а значит и наибольшее значение всей дроби, достигается при условиях, что выражения в скобках равны нулю: $$ a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 $$ $$ b + 2 = 0 \Rightarrow b = -2 $$ Ответ: при $a = 1$ и $b = -2$.

522 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$;

б) $\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$.

В каждом случае укажите несколько пар значений x и y, при которых выражение не имеет смысла.

а) Область определения выражения $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$ находится из условия, что все знаменатели в выражении не должны равняться нулю. В данном выражении есть три знаменателя:

1. Знаменатель $x$ в дроби $\frac{1}{x}$. Следовательно, $x \neq 0$.
2. Знаменатель $y$ в дроби $\frac{1}{y}$. Следовательно, $y \neq 0$.
3. Знаменатель $(x - y)$ в основной дроби. Следовательно, $x - y \neq 0$, что означает $x \neq y$.

Таким образом, выражение имеет смысл при любых значениях $x$ и $y$, удовлетворяющих этим трем условиям одновременно.

Выражение не имеет смысла, если нарушено хотя бы одно из этих условий. Приведем несколько примеров пар $(x, y)$, при которых выражение не имеет смысла:

• Если $x = 0$: например, $(0, 2)$, $(0, -5)$.
• Если $y = 0$: например, $(3, 0)$, $(-1, 0)$.
• Если $x = y$: например, $(4, 4)$, $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения выражения — это все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$. Чтобы найти его область определения, нужно исключить все значения переменных, которые приводят к делению на ноль.

1. В дробях $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ знаменатели не могут быть нулевыми. Отсюда получаем условия: $y \neq 0$ и $x \neq 0$.
2. Основной знаменатель $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ также не должен равняться нулю. Решим уравнение:
   $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 0$
   $\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$
   Приводя к общему знаменателю $xy$ (что возможно, так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$), получаем:
   $x^2 = y^2$
   $x^2 - y^2 = 0$
   $(x - y)(x + y) = 0$
   Это равенство верно, если $x - y = 0$ (т.е. $x = y$) или $x + y = 0$ (т.е. $x = -y$).
   Следовательно, для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться условия: $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Итак, мы имеем четыре условия: $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Выражение не имеет смысла, если не выполняется хотя бы одно из этих условий. Несколько примеров пар $(x, y)$, при которых выражение не имеет смысла:

• Если $x=0$ или $y=0$: например, $(0, 3)$, $(5, 0)$.
• Если $x = y$: например, $(1, 1)$, $(-6, -6)$.
• Если $x = -y$: например, $(2, -2)$, $(-4, 4)$.

Ответ: Область определения выражения — это все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ и $x \neq -y$.

523 Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:

a) $(2 - x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) - 4(2 + x)(x - 2)$ равно 32;

б) $(x + z)(x - z) - y(2x - y) - (x - y + z)(x - y - z)$ равно 0;

в) $(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) + (a - b - c)(b - a - c)(c - b - a)$ равно 0;

г) $(y^2 - 1)(y^2 + y + 1)(y^2 - y + 1) - y^6$ равно -1.

а) Чтобы доказать тождество, упростим левую часть выражения: $(2 - x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) - 4(2 + x)(x - 2) = 32$.
Вынесем общий множитель $(4 + x^2)$ за скобки в первых двух слагаемых:
$(4 + x^2)((2 - x) + (2 + x)) - 4(x + 2)(x - 2)$.
Упростим выражение во вторых скобках: $2 - x + 2 + x = 4$.
В последнем слагаемом применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Получим выражение:
$4(4 + x^2) - 4(x^2 - 4)$.
Раскроем скобки:
$16 + 4x^2 - 4x^2 + 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$16 + 16 + (4x^2 - 4x^2) = 32$.
Таким образом, значение выражения равно 32 при любых значениях $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: 32

б) Упростим левую часть выражения: $(x + z)(x - z) - y(2x - y) - (x - y + z)(x - y - z) = 0$.
Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому: $(x + z)(x - z) = x^2 - z^2$.
Раскроем скобки во втором слагаемом: $-y(2x - y) = -2xy + y^2$.
В третьем слагаемом сгруппируем члены: $((x - y) + z)((x - y) - z)$ и применим формулу разности квадратов, где $a = x-y$ и $b = z$: $(x - y)^2 - z^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - z^2$.
Подставим все упрощенные части в исходное выражение:
$(x^2 - z^2) + (-2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2 - z^2)$.
Раскроем последние скобки:
$x^2 - z^2 - 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + z^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-z^2 + z^2) + (y^2 - y^2) + (-2xy + 2xy) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Значение выражения равно 0 при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.
Ответ: 0

в) Рассмотрим выражение: $(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) + (a - b - c)(b - a - c)(c - b - a) = 0$.
Преобразуем второе слагаемое, вынеся из каждой скобки множитель $-1$:
$(a - b - c) = -(-a + b + c)$;
$(b - a - c) = -(a - b + c)$;
$(c - b - a) = -(a + b - c)$.
Произведение этих трех выражений будет равно:
$(-(-a + b + c)) \cdot (-(a - b + c)) \cdot (-(a + b - c)) = (-1)^3 \cdot (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) = -(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное тождество:
$(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) - (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
Это выражение имеет вид $X - X$, где $X = (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
$X - X = 0$.
Следовательно, значение выражения равно 0 при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.
Ответ: 0

г) Упростим выражение: $(y^2 - 1)(y^2 + y + 1)(y^2 - y + 1) - y^6 = -1$.
Сгруппируем второй и третий множители. Заметим, что они представляют собой формулу разности квадратов, если переписать их как $[(y^2 + 1) + y][(y^2 + 1) - y]$.
Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = y^2+1$ и $b = y$:
$(y^2 + 1)^2 - y^2 = (y^4 + 2y^2 + 1) - y^2 = y^4 + y^2 + 1$.
Теперь выражение приняло вид:
$(y^2 - 1)(y^4 + y^2 + 1) - y^6$.
Первая часть выражения является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a=y^2$ и $b=1$.
$(y^2 - 1)((y^2)^2 + y^2 \cdot 1 + 1^2) = (y^2)^3 - 1^3 = y^6 - 1$.
Подставим это в наше выражение:
$(y^6 - 1) - y^6$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^6 - 1 - y^6 = -1$.
Значение выражения равно -1 при любых значениях переменной, что и требовалось доказать.
Ответ: -1