Страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

565 а) Согласно статистике первого круга чемпионата по футболу, всего было назначено 76 пенальти, из них реализовано 56. Какова вероятность не реализовать пенальти во втором круге?

б) При подготовке к чемпионату фигурист Панин сделал прыжок тройной аксель 250 раз, в 112 из них он упал. Найдите вероятность того, что на чемпионате Панин выполнит этот прыжок успешно.

а) Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. В данном случае, мы ищем вероятность не реализовать пенальти. Мы будем использовать статистику первого круга как оценку вероятности для второго.

Общее число назначенных пенальти (общее число исходов) в первом круге: $n = 76$.
Число реализованных пенальти: $56$.
Число нереализованных пенальти (благоприятных исходов для нашего вопроса): $m = 76 - 56 = 20$.

Вероятность не реализовать пенальти ($P$) вычисляется по формуле: $P = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения: $P = \frac{20}{76}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4: $P = \frac{20 \div 4}{76 \div 4} = \frac{5}{19}$

Ответ: $\frac{5}{19}$

б) Чтобы найти вероятность того, что фигурист выполнит прыжок успешно, мы используем статистику его тренировок.

Общее число попыток выполнить прыжок (общее число исходов): $n = 250$.
Число падений (неуспешных исходов): $112$.
Число успешных прыжков (благоприятных исходов): $m = 250 - 112 = 138$.

Вероятность успешного выполнения прыжка ($P$) вычисляется как отношение числа успешных прыжков к общему числу попыток: $P = \frac{m}{n}$

Подставим значения: $P = \frac{138}{250}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $P = \frac{138 \div 2}{250 \div 2} = \frac{69}{125}$

Для удобства можно представить эту вероятность в виде десятичной дроби: $P = \frac{69}{125} = 0.552$

Ответ: $0.552$

566 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

а) Правильную игральную кость бросили два раза. Верно ли, что равновероятны события:

A: оба раза выпало 6 очков;

B: в первый раз выпала единица, а во второй — шестёрка;

C: один раз выпала единица, один раз — шестёрка;

D: сумма выпавших очков равна 2?

б) В коробке 2 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают два шара. Верно ли, что равновероятны события:

A: вынуты 2 белых шара;

B: вынуты 2 чёрных шара;

C: вынут 1 белый шар и 1 чёрный шар?

а)

Чтобы определить, являются ли события равновероятными, необходимо найти вероятность каждого из них. При бросании правильной игральной кости два раза общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Рассмотрим каждое событие:

• Событие A: оба раза выпало 6 очков.
  Этому событию соответствует только один исход: (6; 6).
  Вероятность события A: $P(A) = \frac{1}{36}$.
• Событие B: в первый раз выпала единица, а во второй — шестёрка.
  Этому событию соответствует только один исход: (1; 6).
  Вероятность события B: $P(B) = \frac{1}{36}$.
• Событие C: один раз выпала единица, один раз — шестёрка.
  Этому событию соответствуют два исхода: (1; 6) и (6; 1).
  Вероятность события C: $P(C) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
• Событие D: сумма выпавших очков равна 2.
  Чтобы сумма была равна 2, на обеих костях должна выпасть единица. Этому событию соответствует один исход: (1; 1).
  Вероятность события D: $P(D) = \frac{1}{36}$.

Сравнивая вероятности, видим, что $P(A) = P(B) = P(D) = \frac{1}{36}$, но $P(C) = \frac{2}{36}$. Поскольку не все события имеют одинаковую вероятность, они не являются равновероятными.

Ответ: неверно.

б)

В коробке находятся 5 шаров (2 белых и 3 чёрных). Наугад вынимают 2 шара. Общее число способов вынуть 2 шара из 5 равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Теперь найдем вероятность каждого события:

• Событие A: вынуты 2 белых шара.
  Число способов выбрать 2 белых шара из 2 имеющихся: $C_2^2 = 1$.
  Вероятность события A: $P(A) = \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}$.
• Событие B: вынуты 2 чёрных шара.
  Число способов выбрать 2 чёрных шара из 3 имеющихся: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
  Вероятность события B: $P(B) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}$.
• Событие C: вынут 1 белый шар и 1 чёрный шар.
  Число способов выбрать 1 белый шар из 2: $C_2^1 = 2$.
  Число способов выбрать 1 чёрный шар из 3: $C_3^1 = 3$.
  Общее число способов для события C: $C_2^1 \times C_3^1 = 2 \times 3 = 6$.
  Вероятность события C: $P(C) = \frac{C_2^1 \times C_3^1}{C_5^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Сравнивая вероятности, получаем: $P(A) = \frac{1}{10}$, $P(B) = \frac{3}{10}$, $P(C) = \frac{6}{10}$. Так как вероятности событий различны, они не являются равновероятными.

Ответ: неверно.

567 В таблице приведено количество очков, набранных в каждом матче баскетбольного турнира двумя лучшими нападающими.

Большов: 18, 25, 19, 12, 17, 9, 16, 27

Великанов: 14, 29, 11, 15, 32, 24, 8, 19

Для каждого игрока вычислите среднее арифметическое числа очков и медиану.

Кто из нападающих в среднем набирает больше очков в одном матче? Кто из игроков играет стабильнее?

Для каждого игрока вычислите среднее арифметическое числа очков и медиану.

Выполним вычисления для каждого игрока по отдельности.

Игрок Большов
Ряд данных по очкам: 18, 25, 19, 12, 17, 9, 16, 27. Всего 8 матчей.

1. Среднее арифметическое – это сумма всех очков, деленная на количество матчей.
$Среднее_{\text{Большов}} = \frac{18 + 25 + 19 + 12 + 17 + 9 + 16 + 27}{8} = \frac{143}{8} = 17.875$

2. Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Сначала упорядочим ряд по возрастанию:
9, 12, 16, 17, 18, 19, 25, 27
Поскольку в ряду четное число элементов (8), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (4-го и 5-го).
$Медиана_{\text{Большов}} = \frac{17 + 18}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$

Игрок Великанов
Ряд данных по очкам: 14, 29, 11, 15, 32, 24, 8, 19. Всего 8 матчей.

1. Среднее арифметическое:
$Среднее_{\text{Великанов}} = \frac{14 + 29 + 11 + 15 + 32 + 24 + 8 + 19}{8} = \frac{152}{8} = 19$

2. Медиана. Упорядочим ряд по возрастанию:
8, 11, 14, 15, 19, 24, 29, 32
Медиана также будет средним арифметическим двух центральных значений (4-го и 5-го).
$Медиана_{\text{Великанов}} = \frac{15 + 19}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Ответ: для Большова среднее арифметическое – 17.875, медиана – 17.5; для Великанова среднее арифметическое – 19, медиана – 17.

Кто из нападающих в среднем набирает больше очков в одном матче?

Чтобы определить, кто в среднем набирает больше очков, нужно сравнить их средние арифметические значения.
Среднее количество очков Большова: 17.875.
Среднее количество очков Великанова: 19.
Так как $19 > 17.875$, Великанов в среднем набирает больше очков за матч.

Ответ: Великанов в среднем набирает больше очков в одном матче.

Кто из игроков играет стабильнее?

Стабильность игры можно оценить по разбросу результатов. Чем меньше разброс, тем стабильнее игра. Одной из простейших мер разброса является размах – разница между максимальным и минимальным значением в ряду данных.

1. Размах для Большова (минимальное значение 9, максимальное 27):
$Размах_{\text{Большов}} = 27 - 9 = 18$

2. Размах для Великанова (минимальное значение 8, максимальное 32):
$Размах_{\text{Великанов}} = 32 - 8 = 24$

Поскольку размах результатов у Большова ($18$) меньше, чем у Великанова ($24$), его результаты более предсказуемы и менее разбросаны. Следовательно, он играет стабильнее.

Ответ: Большов играет стабильнее.

1 Разбейте выражения $x^2 - 3$; $\frac{2}{x-3}$; $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$; $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$; $5a^2bc^3$ на целые и дробные. Каким общим термином можно назвать все перечисленные выражения?

Разбиение выражений на целые и дробные

Чтобы разделить данные алгебраические выражения на целые и дробные, нужно определить, содержат ли они операцию деления на переменную.

• Целые выражения — это выражения, которые не содержат деления на переменную. Они могут включать деление на число, отличное от нуля.
• Дробные выражения — это выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной в знаменателе.

Проанализируем каждое выражение:

1. $x^2 - 3$ — это многочлен. Деления на переменную нет. Следовательно, это целое выражение.
2. $\frac{2}{x-3}$ — это дробь, в знаменателе которой находится выражение с переменной $x$. Следовательно, это дробное выражение.
3. $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$ — в этом выражении есть деление, но только на числа (3 и 2), а не на переменные. Это выражение можно записать в виде многочлена $\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + 1$. Следовательно, это целое выражение.
4. $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ — это сумма двух дробей, знаменатели которых являются переменными ($m$ и $n$). Следовательно, это дробное выражение.
5. $5a^2bc^3$ — это одночлен. Деления на переменную нет. Следовательно, это целое выражение.

Ответ:
Целые выражения: $x^2 - 3$; $\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + 1$; $5a^2bc^3$.
Дробные выражения: $\frac{2}{x-3}$; $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$.

Общий термин для всех перечисленных выражений

Целые и дробные выражения вместе составляют множество рациональных выражений. Рациональное выражение — это выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является нулевым многочленом. Целые выражения являются частным случаем рациональных, где знаменатель $Q$ является числом, не равным нулю (например, 1).

Ответ: Все перечисленные выражения можно назвать общим термином — рациональные выражения.

2 Что называют областью определения буквенного выражения? Какова область определения целого выражения? Как найти область определения дробного выражения? Приведите пример.

Что называют областью определения буквенного выражения?

Областью определения буквенного выражения (также называют множеством допустимых значений переменных или ОДЗ) является множество всех значений переменных, при которых это выражение имеет смысл. Иными словами, это все те значения переменных, при подстановке которых в выражение можно выполнить все математические операции и получить в результате число. Основные ограничения, которые приводят к тому, что выражение может не иметь смысла, — это деление на ноль и извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Ответ: Областью определения буквенного выражения называют множество всех значений входящих в него переменных, при которых данное выражение имеет смысл.

Какова область определения целого выражения?

Целое выражение — это выражение, которое не содержит операции деления на выражение с переменной. Оно может включать в себя числа, переменные, операции сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Поскольку в таких выражениях отсутствует деление на переменную, нет риска возникновения ситуации деления на ноль. Поэтому целые выражения имеют смысл при любых действительных значениях входящих в них переменных.

Ответ: Область определения любого целого выражения — это множество всех действительных чисел.

Как найти область определения дробного выражения?

Дробное выражение — это выражение, в котором есть деление на выражение с переменной (т.е. переменная находится в знаменателе дроби). Главное условие, при котором такое выражение имеет смысл, — его знаменатель не должен быть равен нулю. Чтобы найти область определения дробного выражения, нужно найти все значения переменных, которые обращают его знаменатель в ноль, и затем исключить эти значения из множества всех действительных чисел. Алгоритм следующий: приравнять знаменатель к нулю, решить полученное уравнение, и исключить найденные корни.

Ответ: Чтобы найти область определения дробного выражения, нужно найти значения переменных, при которых его знаменатель обращается в ноль, и исключить эти значения из множества всех действительных чисел.

Приведите пример.

Рассмотрим дробное выражение $ \frac{x-7}{x^2 - 4} $. Это выражение является дробным, так как содержит переменную $x$ в знаменателе. Чтобы найти его область определения, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$. Отсюда получаем $x = 2$ и $x = -2$.

Эти два значения переменной $x$ делают знаменатель равным нулю, поэтому их необходимо исключить из области определения. Таким образом, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$, кроме $2$ и $-2$. Это можно записать как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, или в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Для выражения $ \frac{x-7}{x^2 - 4} $ областью определения являются все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=-2$.