Страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

10 Вычислите координаты точек пересечения параболы $y = 2x^2 - 5$ и прямой $y = 4x - 5$.

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точках пересечения координаты графиков совпадают.

Даны функции:

Парабола: $y = 2x^2 - 5$

Прямая: $y = 4x - 5$

Приравниваем правые части уравнений:

$2x^2 - 5 = 4x - 5$

Далее, перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 4x - 5 + 5 = 0$

Упрощаем выражение:

$2x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = 4x - 5$.

1. Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 4(0) - 5 = 0 - 5 = -5$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(0, -5)$.

2. Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(2, 3)$.

Ответ: $(0, -5)$ и $(2, 3)$.

11 Периметр прямоугольника равен 15 см, а его площадь 14 $см^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника вычисляются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

По условию задачи, периметр равен 15 см, а площадь — 14 см². Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 15 \\ a \cdot b = 14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим сумму сторон $(a + b)$:

$a + b = \frac{15}{2} = 7.5$

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:

$b = \frac{14}{a}$

Теперь подставим выражение для $b$ в уравнение для суммы сторон:

$a + \frac{14}{a} = 7.5$

Чтобы решить это уравнение, умножим все его члены на $a$ (поскольку длина стороны не может быть равна нулю, $a \ne 0$):

$a^2 + 14 = 7.5a$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - 7.5a + 14 = 0$

Решим это уравнение. Для удобства можно умножить его на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$2a^2 - 15a + 28 = 0$

Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 28 = 225 - 224 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$a_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$

Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Теперь найдем значения для второй стороны $b$:

Если $a = 4$ см, то $b = \frac{14}{4} = 3.5$ см.

Если $a = 3.5$ см, то $b = \frac{14}{3.5} = 4$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 4 см и 3,5 см.

Выполним проверку:

Периметр: $2(4 + 3.5) = 2 \cdot 7.5 = 15$ см.

Площадь: $4 \cdot 3.5 = 14$ см².

Результаты соответствуют условию задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 3,5 см.

12 Для каждой системы уравнений укажите число её решений (используйте графические соображения).

А) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -5x \end{cases}$

Б) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 - x \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 \end{cases}$

1) 1 решение 2) 2 решения 3) 3 решения 4) нет решений

Для решения задачи определим количество точек пересечения графиков функций для каждой системы. Количество точек пересечения равно количеству решений системы уравнений.

А)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -5x \end{cases} $.
Графиком первого уравнения $y = \frac{2}{x}$ является гипербола. Поскольку коэффициент $2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Графиком второго уравнения $y = -5x$ является прямая, проходящая через начало координат. Поскольку угловой коэффициент $-5$ отрицателен, прямая расположена во II и IV координатных четвертях.
Так как ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях и не пересекаются в начале координат (гипербола через него не проходит), у графиков нет точек пересечения.
Алгебраическая проверка:
$ \frac{2}{x} = -5x $
$ 2 = -5x^2 $
$ x^2 = -\frac{2}{5} $
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (вариант 4).

Б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 - x \end{cases} $.
График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
График $y = 5 - x$ — это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, 5) и ось OX в точке (5, 0). Прямая проходит через I, II и IV координатные четверти.
Поскольку и ветвь гиперболы, и прямая находятся в I четверти, они могут пересекаться. Во II и IV четвертях гиперболы нет, а в III четверти нет прямой, поэтому пересечения возможны только в I четверти.
Чтобы определить точное количество решений, приравняем выражения для $y$:
$ \frac{2}{x} = 5 - x $
При условии $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$ 2 = 5x - x^2 $
$ x^2 - 5x + 2 = 0 $
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17 $
Поскольку $D = 17 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что графики пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 решения (вариант 2).

В)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 \end{cases} $.
График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
График $y = 5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси OX, проходящая через точку (0, 5). Прямая расположена в I и II четвертях.
Прямая $y=5$ пересечет ветвь гиперболы, расположенную в I четверти, ровно в одной точке. С ветвью в III четверти (где $y<0$) пересечений не будет.
Найдем решение алгебраически:
$ 5 = \frac{2}{x} $
$ 5x = 2 $
$ x = \frac{2}{5} $
Система имеет единственное решение ($x=0.4, y=5$). Таким образом, у системы одно решение.
Ответ: 1 решение (вариант 1).

13 С помощью графиков решите систему уравнений

$$\begin{cases} y = |x| \\ y = (x + 2)^2 \end{cases}$$

Для того чтобы решить систему уравнений с помощью графиков, необходимо построить график каждой функции, входящей в систему, в одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения этих графиков и будут являться решением системы.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = |x| \\ y = (x + 2)^2 \end{cases} $

1. Построение графика функции $y = |x|$

График функции $y = |x|$ (модуль x) представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$. Это биссектриса первого координатного угла.
• $y = -x$ при $x < 0$. Это биссектриса второго координатного угла.

Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. Построение графика функции $y = (x + 2)^2$

График функции $y = (x + 2)^2$ — это парабола. Данный график получается из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, а ветви параболы направлены вверх.

3. Нахождение решения системы

Построим оба графика в одной системе координат. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Визуально можно предположить, что точки пересечения имеют координаты $(-1, 1)$ и $(-4, 4)$.

Для точности выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(-1, 1)$:

• Подставляем в первое уравнение: $1 = |-1|$, что равно $1 = 1$. Верно.
• Подставляем во второе уравнение: $1 = (-1 + 2)^2 = 1^2$, что равно $1 = 1$. Верно.

Следовательно, точка $(-1, 1)$ является решением системы.

Проверка для точки $(-4, 4)$:

• Подставляем в первое уравнение: $4 = |-4|$, что равно $4 = 4$. Верно.
• Подставляем во второе уравнение: $4 = (-4 + 2)^2 = (-2)^2$, что равно $4 = 4$. Верно.

Следовательно, точка $(-4, 4)$ также является решением системы.

Других точек пересечения графики не имеют.

Ответ: $(-1, 1)$, $(-4, 4)$.

14 Какому промежутку принадлежит положительный корень уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$?

1) $[0; 1]$ 2) $[1; 2]$ 3) $[2; 3]$ 4) $[3; 4]$

Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Правая часть уравнения $0,5x^2$ определена при любых $x$. Следовательно, ОДЗ уравнения есть $x \ge 0$.

Согласно условию, мы ищем положительный корень, то есть $x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Поскольку при $x \ge 0$ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x^2)^2$

$x = 0,25x^4$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$0,25x^4 - x = 0$

$x(0,25x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x = 0$ или $0,25x^3 - 1 = 0$.

Корень $x=0$ не является положительным. Найдем положительный корень из второго уравнения:

$0,25x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{0,25}$

$x^3 = 4$

$x = \sqrt[3]{4}$

Итак, положительный корень уравнения равен $\sqrt[3]{4}$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежит корень $\sqrt[3]{4}$. Сравним его с целыми числами:

Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$.

Поскольку $1 < 4 < 8$, то, извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{8}$

$1 < \sqrt[3]{4} < 2$

Следовательно, корень $\sqrt[3]{4}$ находится в интервале $(1; 2)$, а значит, принадлежит промежутку $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.