Страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

568 Пусть $(a_n)$ — последовательность треугольных чисел (рис. 4.2).

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Рис. 4.2

a) Заполните таблицу, вычислив первые восемь членов этой последовательности.

Номер члена последовательности: 1, 2, ..., 8

Обозначение: $a_1$, $a_2$, ...

Член последовательности: 1, 3, ...

б) Найдите $a_9$, $a_{10}$.

а)

Данная последовательность $(a_n)$ является последовательностью треугольных чисел. Каждый n-й член этой последовательности, $a_n$, представляет собой сумму первых $n$ натуральных чисел.
Как видно из рисунка, каждый следующий член получается добавлением нового ряда, содержащего на один элемент больше, чем предыдущий добавленный ряд. Это можно выразить рекуррентной формулой: $a_n = a_{n-1} + n$, где $a_1 = 1$.
Общая формула для n-го треугольного числа выглядит так: $a_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Вычислим первые восемь членов последовательности, используя рекуррентный метод, так как первые два члена уже известны:
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + 2 = 3$
$a_3 = a_2 + 3 = 3 + 3 = 6$
$a_4 = a_3 + 4 = 6 + 4 = 10$
$a_5 = a_4 + 5 = 10 + 5 = 15$
$a_6 = a_5 + 6 = 15 + 6 = 21$
$a_7 = a_6 + 7 = 21 + 7 = 28$
$a_8 = a_7 + 8 = 28 + 8 = 36$

Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

б)

Для нахождения 9-го и 10-го членов последовательности ($a_9$ и $a_{10}$) можно использовать как рекуррентную формулу, так и общую формулу. Использование общей формулы $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ является более прямым способом.

Вычислим $a_9$:
$a_9 = \frac{9 \cdot (9+1)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Вычислим $a_{10}$:
$a_{10} = \frac{10 \cdot (10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Проверим с помощью рекуррентной формулы:
$a_9 = a_8 + 9 = 36 + 9 = 45$
$a_{10} = a_9 + 10 = 45 + 10 = 55$

Ответ: $a_9 = 45$, $a_{10} = 55$.