Страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

576 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два числа в этой последовательности и задайте её формулой $n$-го члена. Найдите десятый и двадцатый члены последовательности.

а) 1; 4; 9; 16; 25; ... $(c_n)$;

б) 5; 10; 15; 20; 25; ... $(x_n)$;

в) 4; 5; 6; 7; 8; ... $(a_n)$;

г) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ... $(b_n)$;

д) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ... $(y_n)$;

е) $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ... $(z_n)$.

а) Правило: каждый член последовательности $c_n$ является квадратом своего порядкового номера $n$.
Формула n-го члена: $c_n = n^2$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$c_6 = 6^2 = 36$
$c_7 = 7^2 = 49$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$c_{10} = 10^2 = 100$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$c_{20} = 20^2 = 400$
Ответ: Следующие два числа: 36, 49. Формула n-го члена: $c_n = n^2$. Десятый член: 100, двадцатый член: 400.

б) Правило: каждый член последовательности $x_n$ равен своему порядковому номеру $n$, умноженному на 5. Это арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 5.
Формула n-го члена: $x_n = 5n$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$x_6 = 5 \cdot 6 = 30$
$x_7 = 5 \cdot 7 = 35$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$x_{10} = 5 \cdot 10 = 50$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$x_{20} = 5 \cdot 20 = 100$
Ответ: Следующие два числа: 30, 35. Формула n-го члена: $x_n = 5n$. Десятый член: 50, двадцатый член: 100.

в) Правило: каждый член последовательности $a_n$ на 3 больше своего порядкового номера $n$. Это арифметическая прогрессия с первым членом 4 и разностью 1.
Формула n-го члена: $a_n = n + 3$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены, так как 8 является пятым членом ($a_5 = 5+3=8$):
$a_6 = 6 + 3 = 9$
$a_7 = 7 + 3 = 10$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$a_{10} = 10 + 3 = 13$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$a_{20} = 20 + 3 = 23$
Ответ: Следующие два числа: 9, 10. Формула n-го члена: $a_n = n + 3$. Десятый член: 13, двадцатый член: 23.

г) Правило: каждый член последовательности $b_n$ является числом, обратным своему порядковому номеру $n$.
Формула n-го члена: $b_n = \frac{1}{n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$b_6 = \frac{1}{6}$
$b_7 = \frac{1}{7}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$b_{10} = \frac{1}{10}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$b_{20} = \frac{1}{20}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$. Формула n-го члена: $b_n = \frac{1}{n}$. Десятый член: $\frac{1}{10}$, двадцатый член: $\frac{1}{20}$.

д) Правило: каждый член последовательности $y_n$ представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель — степени числа 2 с показателем, равным порядковому номеру члена $n$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $1/2$ и знаменателем $1/2$.
Формула n-го члена: $y_n = \frac{1}{2^n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$y_6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
$y_7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$y_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$y_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{128}$. Формула n-го члена: $y_n = \frac{1}{2^n}$. Десятый член: $\frac{1}{1024}$, двадцатый член: $\frac{1}{1048576}$.

е) Правило: каждый член последовательности $z_n$ представляет собой дробь, где знаменатель равен порядковому номеру члена $n$, а числитель на единицу больше знаменателя.
Формула n-го члена: $z_n = \frac{n+1}{n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$z_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$
$z_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$z_{10} = \frac{10+1}{10} = \frac{11}{10}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$z_{20} = \frac{20+1}{20} = \frac{21}{20}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{7}$. Формула n-го члена: $z_n = \frac{n+1}{n}$. Десятый член: $\frac{11}{10}$, двадцатый член: $\frac{21}{20}$.

577 АНАЛИЗИРУЕМ Вычислите первые 6 членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена, и дайте ей «имя»:

a) $a_n = n$;

б) $a_n = 2n - 1$;

в) $a_n = 4n$;

г) $a_n = 1 - n$.

Образец. Формулой $a_n = 2n$ задаётся последовательность, которая начинается так: 2; 4; 6; 8; 10; 12; .... Это последовательность чётных чисел.

а) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n$, вычислим первые 6 членов, последовательно подставляя значения $n$ от 1 до 6.
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = 3$
$a_4 = 4$
$a_5 = 5$
$a_6 = 6$
Полученные члены: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Это последовательность натуральных чисел.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6; последовательность натуральных чисел.

б) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 2n - 1$, вычислим первые 6 членов.
$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
$a_6 = 2 \cdot 6 - 1 = 11$
Полученные члены: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
Это последовательность нечётных натуральных чисел.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11; последовательность нечётных натуральных чисел.

в) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 4n$, вычислим первые 6 членов.
$a_1 = 4 \cdot 1 = 4$
$a_2 = 4 \cdot 2 = 8$
$a_3 = 4 \cdot 3 = 12$
$a_4 = 4 \cdot 4 = 16$
$a_5 = 4 \cdot 5 = 20$
$a_6 = 4 \cdot 6 = 24$
Полученные члены: 4, 8, 12, 16, 20, 24.
Это последовательность натуральных чисел, кратных 4.
Ответ: 4, 8, 12, 16, 20, 24; последовательность натуральных чисел, кратных 4.

г) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 1 - n$, вычислим первые 6 членов.
$a_1 = 1 - 1 = 0$
$a_2 = 1 - 2 = -1$
$a_3 = 1 - 3 = -2$
$a_4 = 1 - 4 = -3$
$a_5 = 1 - 5 = -4$
$a_6 = 1 - 6 = -5$
Полученные члены: 0, -1, -2, -3, -4, -5.
Это последовательность неположительных целых чисел.
Ответ: 0, -1, -2, -3, -4, -5; последовательность неположительных целых чисел.

ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ (578–580)

578 Последовательность задана формулой n-го члена:

$a_n = 5 - 3n.$

a) Вычислите первые восемь членов этой последовательности.

б) Найдите $a_{100}; a_{99}; a_{101}$.

в) Найдите $a_k; a_{k-1}; a_{k+1}$.

Дана последовательность, заданная формулой n-го члена: $a_n = 5 - 3n$.

а) Вычислите первые восемь членов этой последовательности.

Чтобы найти первые восемь членов последовательности, необходимо подставить в формулу вместо $n$ натуральные числа от 1 до 8.

При $n = 1$: $a_1 = 5 - 3 \cdot 1 = 5 - 3 = 2$.

При $n = 2$: $a_2 = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$.

При $n = 3$: $a_3 = 5 - 3 \cdot 3 = 5 - 9 = -4$.

При $n = 4$: $a_4 = 5 - 3 \cdot 4 = 5 - 12 = -7$.

При $n = 5$: $a_5 = 5 - 3 \cdot 5 = 5 - 15 = -10$.

При $n = 6$: $a_6 = 5 - 3 \cdot 6 = 5 - 18 = -13$.

При $n = 7$: $a_7 = 5 - 3 \cdot 7 = 5 - 21 = -16$.

При $n = 8$: $a_8 = 5 - 3 \cdot 8 = 5 - 24 = -19$.

Ответ: 2, -1, -4, -7, -10, -13, -16, -19.

б) Найдите $a_{100}$; $a_{99}$; $a_{101}$.

Для нахождения указанных членов последовательности подставляем соответствующие индексы вместо $n$ в формулу $a_n = 5 - 3n$.

Для $a_{100}$ (где $n=100$):
$a_{100} = 5 - 3 \cdot 100 = 5 - 300 = -295$.

Для $a_{99}$ (где $n=99$):
$a_{99} = 5 - 3 \cdot 99 = 5 - 297 = -292$.

Для $a_{101}$ (где $n=101$):
$a_{101} = 5 - 3 \cdot 101 = 5 - 303 = -298$.

Ответ: $a_{100} = -295$; $a_{99} = -292$; $a_{101} = -298$.

в) Найдите $a_k$; $a_{k-1}$; $a_{k+1}$.

Для нахождения членов последовательности с общими индексами $k$, $k-1$ и $k+1$ мы подставляем эти выражения вместо $n$ в исходную формулу.

Для $a_k$, подставляем $n=k$:
$a_k = 5 - 3k$.

Для $a_{k-1}$, подставляем $n = k - 1$ и упрощаем выражение:
$a_{k-1} = 5 - 3(k-1) = 5 - 3k + 3 = 8 - 3k$.

Для $a_{k+1}$, подставляем $n = k + 1$ и упрощаем выражение:
$a_{k+1} = 5 - 3(k+1) = 5 - 3k - 3 = 2 - 3k$.

Ответ: $a_k = 5 - 3k$; $a_{k-1} = 8 - 3k$; $a_{k+1} = 2 - 3k$.