Номер 576, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 576, страница 226.

576 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два числа в этой последовательности и задайте её формулой $n$-го члена. Найдите десятый и двадцатый члены последовательности.

а) 1; 4; 9; 16; 25; ... $(c_n)$;

б) 5; 10; 15; 20; 25; ... $(x_n)$;

в) 4; 5; 6; 7; 8; ... $(a_n)$;

г) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; ... $(b_n)$;

д) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$; ... $(y_n)$;

е) $\frac{2}{1}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; ... $(z_n)$.

а) Правило: каждый член последовательности $c_n$ является квадратом своего порядкового номера $n$.
Формула n-го члена: $c_n = n^2$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$c_6 = 6^2 = 36$
$c_7 = 7^2 = 49$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$c_{10} = 10^2 = 100$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$c_{20} = 20^2 = 400$
Ответ: Следующие два числа: 36, 49. Формула n-го члена: $c_n = n^2$. Десятый член: 100, двадцатый член: 400.

б) Правило: каждый член последовательности $x_n$ равен своему порядковому номеру $n$, умноженному на 5. Это арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 5.
Формула n-го члена: $x_n = 5n$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$x_6 = 5 \cdot 6 = 30$
$x_7 = 5 \cdot 7 = 35$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$x_{10} = 5 \cdot 10 = 50$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$x_{20} = 5 \cdot 20 = 100$
Ответ: Следующие два числа: 30, 35. Формула n-го члена: $x_n = 5n$. Десятый член: 50, двадцатый член: 100.

в) Правило: каждый член последовательности $a_n$ на 3 больше своего порядкового номера $n$. Это арифметическая прогрессия с первым членом 4 и разностью 1.
Формула n-го члена: $a_n = n + 3$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены, так как 8 является пятым членом ($a_5 = 5+3=8$):
$a_6 = 6 + 3 = 9$
$a_7 = 7 + 3 = 10$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$a_{10} = 10 + 3 = 13$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$a_{20} = 20 + 3 = 23$
Ответ: Следующие два числа: 9, 10. Формула n-го члена: $a_n = n + 3$. Десятый член: 13, двадцатый член: 23.

г) Правило: каждый член последовательности $b_n$ является числом, обратным своему порядковому номеру $n$.
Формула n-го члена: $b_n = \frac{1}{n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$b_6 = \frac{1}{6}$
$b_7 = \frac{1}{7}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$b_{10} = \frac{1}{10}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$b_{20} = \frac{1}{20}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$. Формула n-го члена: $b_n = \frac{1}{n}$. Десятый член: $\frac{1}{10}$, двадцатый член: $\frac{1}{20}$.

д) Правило: каждый член последовательности $y_n$ представляет собой дробь, где числитель равен 1, а знаменатель — степени числа 2 с показателем, равным порядковому номеру члена $n$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $1/2$ и знаменателем $1/2$.
Формула n-го члена: $y_n = \frac{1}{2^n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$y_6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
$y_7 = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$y_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$y_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{128}$. Формула n-го члена: $y_n = \frac{1}{2^n}$. Десятый член: $\frac{1}{1024}$, двадцатый член: $\frac{1}{1048576}$.

е) Правило: каждый член последовательности $z_n$ представляет собой дробь, где знаменатель равен порядковому номеру члена $n$, а числитель на единицу больше знаменателя.
Формула n-го члена: $z_n = \frac{n+1}{n}$.
Следующие два числа в этой последовательности — это шестой ($n=6$) и седьмой ($n=7$) члены:
$z_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$
$z_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$
Десятый член последовательности ($n=10$):
$z_{10} = \frac{10+1}{10} = \frac{11}{10}$
Двадцатый член последовательности ($n=20$):
$z_{20} = \frac{20+1}{20} = \frac{21}{20}$
Ответ: Следующие два числа: $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{7}$. Формула n-го члена: $z_n = \frac{n+1}{n}$. Десятый член: $\frac{11}{10}$, двадцатый член: $\frac{21}{20}$.