Номер 575, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 575, страница 225.

575 Николай начал заниматься в тренажёрном зале. Используя калькулятор, заполните таблицу и запишите формулу, по которой можно вычислить время занятий Николая в n-й день,

День занятий	Длительность занятий (в минутах)	Правило вычисления
1	10	10
2	$10 \cdot 1,1 = 11$	$10 \cdot 1,1$
3	$(10 \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 12,1 \approx 12$	$10 \cdot 1,1^2$
4
5
6

если в первый день он занимался 10 мин, а в каждый следующий день увеличивал время занятий в 1,1 раза.

Через три недели Николай перестал увеличивать время занятий. Сколько минут он стал проводить в тренажёрном зале?

Проанализируем условие задачи. Время занятий Николая представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 10$ минут, а знаменатель прогрессии $q = 1,1$, так как каждый день время увеличивается в 1,1 раза.

Заполнение таблицы

Для заполнения таблицы будем использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$, где $T_n$ – длительность занятий в n-й день.

• День 4 (n=4):
  Длительность: $T_3 \cdot 1,1 = 12,1 \cdot 1,1 = 13,31 \approx 13$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{4-1} = 10 \cdot (1,1)^3$.
• День 5 (n=5):
  Длительность: $T_4 \cdot 1,1 = 13,31 \cdot 1,1 = 14,641 \approx 15$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{5-1} = 10 \cdot (1,1)^4$.
• День 6 (n=6):
  Длительность: $T_5 \cdot 1,1 = 14,641 \cdot 1,1 = 16,1051 \approx 16$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{6-1} = 10 \cdot (1,1)^5$.

Заполненная таблица:

День занятий	Длительность занятий (в минутах)	Правило вычисления
1	10	$10$
2	$10 \cdot 1,1 = 11$	$10 \cdot 1,1$
3	$(10 \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 12,1 \approx 12$	$10 \cdot 1,1^2$
4	$12,1 \cdot 1,1 = 13,31 \approx 13$	$10 \cdot 1,1^3$
5	$13,31 \cdot 1,1 = 14,641 \approx 15$	$10 \cdot 1,1^4$
6	$14,641 \cdot 1,1 = 16,1051 \approx 16$	$10 \cdot 1,1^5$

Формула для вычисления времени занятий в n-й день

Как было показано ранее, длительность занятий является n-м членом геометрической прогрессии. Обозначим длительность занятий в n-й день как $T_n$.

Первый член прогрессии (время в первый день) $b_1 = 10$.

Знаменатель прогрессии (коэффициент увеличения) $q = 1,1$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, получаем формулу для времени занятий Николая в n-й день:

$T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$

Ответ: $T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$.

Сколько минут он стал проводить в тренажёрном зале?

Николай перестал увеличивать время занятий через три недели. В неделе 7 дней, значит, он увеличивал время в течение $3 \cdot 7 = 21$ дня. Время зафиксировалось на уровне, достигнутом в 21-й день. Нам нужно рассчитать $T_{21}$.

Используем выведенную формулу для $n = 21$:

$T_{21} = 10 \cdot (1,1)^{21-1} = 10 \cdot (1,1)^{20}$

Теперь воспользуемся калькулятором для вычисления $(1,1)^{20}$:

$(1,1)^{20} \approx 6,7275$

Подставляем это значение в нашу формулу:

$T_{21} \approx 10 \cdot 6,7275 = 67,275$ минут.

Округляя до целого числа минут, получаем 67 минут.

Ответ: 67 минут.