Номер 572, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 572, страница 224.

572 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ И ТЕРМИНАМИ

Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два члена и задайте её рекуррентным способом:

a) 64; 60; 56; 52; 48; ... ($a_n$); в) 1; 3; 9; 27; 81; ... ($x_n$);

б) 3; 8; 13; 18; 23; ... ($c_n$); г) 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ... ($b_n$).

а) Рассмотрим последовательность 64; 60; 56; 52; 48; ... ($a_n$).
Правило: Чтобы найти закономерность, вычислим разность между соседними членами последовательности: $60 - 64 = -4$; $56 - 60 = -4$; $52 - 56 = -4$; $48 - 52 = -4$. Мы видим, что каждый следующий член последовательности на 4 меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -4$.
Следующие два члена: Чтобы найти шестой член ($a_6$), нужно из пятого члена ($a_5=48$) вычесть 4: $a_6 = 48 - 4 = 44$. Чтобы найти седьмой член ($a_7$), нужно из шестого ($a_6=44$) вычесть 4: $a_7 = 44 - 4 = 40$.
Рекуррентный способ: Для задания последовательности рекуррентным способом нужно указать её первый член и формулу для нахождения любого члена, начиная со второго, через предыдущий. Первый член $a_1 = 64$. Формула для последующих членов: $a_{n+1} = a_n - 4$.
Ответ: следующие два члена: 44 и 40. Рекуррентная формула: $a_1 = 64, a_{n+1} = a_n - 4$.

б) Рассмотрим последовательность 3; 8; 13; 18; 23; ... ($c_n$).
Правило: Вычислим разность между соседними членами: $8 - 3 = 5$; $13 - 8 = 5$; $18 - 13 = 5$; $23 - 18 = 5$. Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$.
Следующие два члена: Шестой член: $c_6 = 23 + 5 = 28$. Седьмой член: $c_7 = 28 + 5 = 33$.
Рекуррентный способ: Первый член $c_1 = 3$. Формула для последующих членов: $c_{n+1} = c_n + 5$.
Ответ: следующие два члена: 28 и 33. Рекуррентная формула: $c_1 = 3, c_{n+1} = c_n + 5$.

в) Рассмотрим последовательность 1; 3; 9; 27; 81; ... ($x_n$).
Правило: Найдем отношение между соседними членами: $3 / 1 = 3$; $9 / 3 = 3$; $27 / 9 = 3$; $81 / 27 = 3$. Каждый следующий член последовательности в 3 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.
Следующие два члена: Шестой член: $x_6 = 81 \cdot 3 = 243$. Седьмой член: $x_7 = 243 \cdot 3 = 729$.
Рекуррентный способ: Первый член $x_1 = 1$. Формула для последующих членов: $x_{n+1} = x_n \cdot 3$ или $x_{n+1} = 3x_n$.
Ответ: следующие два члена: 243 и 729. Рекуррентная формула: $x_1 = 1, x_{n+1} = 3x_n$.

г) Рассмотрим последовательность 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ... ($b_n$).
Правило: Найдем отношение между соседними членами: $50 / 500 = 0,1$; $5 / 50 = 0,1$; $0,5 / 5 = 0,1$; $0,05 / 0,5 = 0,1$. Каждый следующий член последовательности в 10 раз меньше предыдущего (или равен предыдущему, умноженному на 0,1). Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 0,1$.
Следующие два члена: Шестой член: $b_6 = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005$. Седьмой член: $b_7 = 0,005 \cdot 0,1 = 0,0005$.
Рекуррентный способ: Первый член $b_1 = 500$. Формула для последующих членов: $b_{n+1} = b_n \cdot 0,1$.
Ответ: следующие два члена: 0,005 и 0,0005. Рекуррентная формула: $b_1 = 500, b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$.