Номер 12, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 12, страница 217.

12 Для каждой системы уравнений укажите число её решений (используйте графические соображения).

А) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -5x \end{cases}$

Б) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 - x \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 \end{cases}$

1) 1 решение 2) 2 решения 3) 3 решения 4) нет решений

Для решения задачи определим количество точек пересечения графиков функций для каждой системы. Количество точек пересечения равно количеству решений системы уравнений.

А)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = -5x \end{cases} $.
Графиком первого уравнения $y = \frac{2}{x}$ является гипербола. Поскольку коэффициент $2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Графиком второго уравнения $y = -5x$ является прямая, проходящая через начало координат. Поскольку угловой коэффициент $-5$ отрицателен, прямая расположена во II и IV координатных четвертях.
Так как ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях и не пересекаются в начале координат (гипербола через него не проходит), у графиков нет точек пересечения.
Алгебраическая проверка:
$ \frac{2}{x} = -5x $
$ 2 = -5x^2 $
$ x^2 = -\frac{2}{5} $
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (вариант 4).

Б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 - x \end{cases} $.
График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
График $y = 5 - x$ — это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, 5) и ось OX в точке (5, 0). Прямая проходит через I, II и IV координатные четверти.
Поскольку и ветвь гиперболы, и прямая находятся в I четверти, они могут пересекаться. Во II и IV четвертях гиперболы нет, а в III четверти нет прямой, поэтому пересечения возможны только в I четверти.
Чтобы определить точное количество решений, приравняем выражения для $y$:
$ \frac{2}{x} = 5 - x $
При условии $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$ 2 = 5x - x^2 $
$ x^2 - 5x + 2 = 0 $
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17 $
Поскольку $D = 17 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что графики пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 решения (вариант 2).

В)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 5 \end{cases} $.
График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
График $y = 5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси OX, проходящая через точку (0, 5). Прямая расположена в I и II четвертях.
Прямая $y=5$ пересечет ветвь гиперболы, расположенную в I четверти, ровно в одной точке. С ветвью в III четверти (где $y<0$) пересечений не будет.
Найдем решение алгебраически:
$ 5 = \frac{2}{x} $
$ 5x = 2 $
$ x = \frac{2}{5} $
Система имеет единственное решение ($x=0.4, y=5$). Таким образом, у системы одно решение.
Ответ: 1 решение (вариант 1).