Номер 9, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 9, страница 216.

9 Теплоход прошёл 21 км по течению реки и 10 км против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Какова собственная скорость теплохода, если на весь путь он затратил 2,5 ч? Какое из уравнений соответствует условию задачи, если буквой x обозначена собственная скорость теплохода (в км/ч)?

1) $ \frac{21}{x+2} + \frac{10}{x-2} = 2,5 $

2) $ \frac{21}{x-2} + \frac{10}{x+2} = 2,5 $

3) $ 10(x+2) + 21(x-2) = 2,5 $

4) $ 21(x+2) + 10(x-2) = 2,5 $

Какое из уравнений соответствует условию задачи, если буквой x обозначена собственная скорость теплохода (в км/ч)?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, исходя из основных формул движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время. Отсюда время можно выразить как $t = S/v$.

Пусть $x$ (км/ч) — собственная скорость теплохода.

Скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Когда теплоход идет по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч.} = (x + 2)$ км/ч.

Когда теплоход идет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против\;теч.} = (x - 2)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по\;теч.} = \frac{S_{по\;теч.}}{v_{по\;теч.}} = \frac{21}{x + 2}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против\;теч.} = \frac{S_{против\;теч.}}{v_{против\;теч.}} = \frac{10}{x - 2}$ ч.

Общее время в пути равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{общ.} = t_{по\;теч.} + t_{против\;теч.}$.

По условию, общее время составляет $2,5$ ч. Подставив все значения, получим уравнение:

$\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту 1.

Ответ: 1) $\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Какова собственная скорость теплохода, если на весь путь он затратил 2,5 ч?

Для нахождения собственной скорости теплохода решим составленное уравнение.

$\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Область допустимых значений для $x$: так как скорость не может быть отрицательной, и теплоход должен двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, т.е. $x > 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2)$:

$\frac{21(x - 2) + 10(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 2,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{21x - 42 + 10x + 20}{x^2 - 4} = 2,5$

$\frac{31x - 22}{x^2 - 4} = 2,5$

Используем свойство пропорции:

$31x - 22 = 2,5(x^2 - 4)$

$31x - 22 = 2,5x^2 - 10$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2,5x^2 - 31x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5x^2 - 62x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-62)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 3844 - 480 = 3364$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{62 + 58}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{62 - 58}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4$

Проверим корни на соответствие области допустимых значений $x > 2$.

Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $12 > 2$.

Корень $x_2 = 0,4$ не удовлетворяет условию $0,4 > 2$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.