Номер 4, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 216.

4 Какое из равенств не является тождеством?

1) $a - b = -(b - a)$

2) $(a - b)^2 = (b - a)^2$

3) $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$

4) $(b + a)(a - b) = b^2 - a^2$

Чтобы определить, какое из равенств не является тождеством, необходимо проверить каждое из них. Тождество — это равенство, которое выполняется для всех допустимых значений входящих в него переменных.

1) $a - b = -(b - a)$

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри скобок на противоположные: $-(b - a) = -b - (-a) = -b + a$. Используя переместительный закон сложения, получаем $a - b$. Таким образом, равенство принимает вид $a - b = a - b$. Оно верно для любых значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: Равенство является тождеством.

2) $(a - b)^2 = (b - a)^2$

Выражения $a - b$ и $b - a$ являются противоположными, то есть $a - b = -(b - a)$. Квадраты противоположных чисел всегда равны, поскольку $(-x)^2 = x^2$. Следовательно, $(a - b)^2 = (-(b - a))^2 = (b - a)^2$. Равенство верно для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Равенство является тождеством.

3) $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$

Преобразуем левую часть равенства. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Подставим это в левую часть: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$. Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $a + b \neq 0$. При этом условии можно сократить дробь на общий множитель $(a + b)$. В результате левая часть становится равной $a - b$. Равенство $a - b = a - b$ верно для всех допустимых значений переменных.

Ответ: Равенство является тождеством.

4) $(b + a)(a - b) = b^2 - a^2$

Преобразуем левую часть равенства. Используя переместительный закон сложения, $b + a = a + b$. Тогда левая часть равна $(a + b)(a - b)$. Это формула разности квадратов, результат которой $a^2 - b^2$. Таким образом, исходное равенство можно переписать как $a^2 - b^2 = b^2 - a^2$. Это равенство не является тождеством, так как оно верно не для всех значений переменных. Оно выполняется только при условии $a^2 - b^2 = -(a^2 - b^2)$, что возможно лишь когда $a^2 - b^2 = 0$, то есть $|a| = |b|$. Для проверки подставим произвольные значения, например, $a=2$ и $b=1$: Левая часть: $(1 + 2)(2 - 1) = 3 \cdot 1 = 3$. Правая часть: $1^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $3 \neq -3$, равенство неверно.

Ответ: Равенство не является тождеством.