Номер 8, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 8, страница 215.

8 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 - 2y = 12 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x - y = 4 \end{cases}$

а)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = 2 \\x^2 - 2y = 12\end{cases}$$Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 2 - x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x^2 - 2(2 - x) = 12$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 - 4 + 2x = 12$
$x^2 + 2x - 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.
Найдем корни $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{17}}{2} = -1 + \sqrt{17}$
$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{17}}{2} = -1 - \sqrt{17}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 2 - x$:
Для $x_1 = -1 + \sqrt{17}$:
$y_1 = 2 - (-1 + \sqrt{17}) = 2 + 1 - \sqrt{17} = 3 - \sqrt{17}$
Для $x_2 = -1 - \sqrt{17}$:
$y_2 = 2 - (-1 - \sqrt{17}) = 2 + 1 + \sqrt{17} = 3 + \sqrt{17}$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1 + \sqrt{17}; 3 - \sqrt{17})$, $(-1 - \sqrt{17}; 3 + \sqrt{17})$.

б)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = 5 \\xy = -14\end{cases}$$Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($x+y=5$) и произведения ($xy=-14$):
$t^2 - 5t - 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
Найдем корни $t_1$ и $t_2$:
$t_1 = \frac{-(-5) + 9}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-(-5) - 9}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Корни уравнения $t_1$ и $t_2$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что если $x=t_1$, то $y=t_2$, и наоборот.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(7; -2)$, $(-2; 7)$.

в)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 26 \\x - y = 4\end{cases}$$Используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = y + 4$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 26$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 26$
$2y^2 + 8y + 16 - 26 = 0$
$2y^2 + 8y - 10 = 0$
Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$y^2 + 4y - 5 = 0$
Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Легко подобрать корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = -5$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $x = y + 4$:
Для $y_1 = 1$:
$x_1 = 1 + 4 = 5$
Для $y_2 = -5$:
$x_2 = -5 + 4 = -1$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(5; 1)$, $(-1; -5)$.