Номер 7, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 7, страница 215.

7 Решите задачу:

а) Лодка за одно и то же время может проплыть по течению реки 45 км, а против течения — 27 км. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка в стоячей воде?

б) Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км — по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь у него ушёл 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

а)

Пусть $v_л$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.
По условию, $v_т = 3$ км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v_л + v_т) = (v_л + 3)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки равна $(v_л - v_т) = (v_л - 3)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению (45 км), равно $t_1 = \frac{45}{v_л + 3}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения (27 км), равно $t_2 = \frac{27}{v_л - 3}$ ч.

По условию, время на оба пути одинаковое ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение:
$\frac{45}{v_л + 3} = \frac{27}{v_л - 3}$
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$45(v_л - 3) = 27(v_л + 3)$
$45v_л - 135 = 27v_л + 81$
$45v_л - 27v_л = 81 + 135$
$18v_л = 216$
$v_л = \frac{216}{18}$
$v_л = 12$

Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.
Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 12 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на отремонтированном (втором) участке шоссе.
Тогда его скорость на участке, где шел ремонт (первый участок), была $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок (4 км), равно $t_1 = \frac{4}{x - 4}$ ч.
Время, затраченное на второй участок (6 км), равно $t_2 = \frac{6}{x}$ ч.

Общее время в пути составило 1 час, то есть $t_1 + t_2 = 1$. Составим и решим уравнение:
$\frac{4}{x - 4} + \frac{6}{x} = 1$
Ограничение: так как скорость не может быть отрицательной или нулевой, $x > 0$ и $x - 4 > 0$, следовательно $x > 4$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 4)$ и решим уравнение:
$4x + 6(x - 4) = 1 \cdot x(x - 4)$
$4x + 6x - 24 = x^2 - 4x$
$10x - 24 = x^2 - 4x$
$x^2 - 14x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$
$\sqrt{D} = 10$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x > 4$, так как при этой скорости, скорость на первом участке была бы $2 - 4 = -2$ км/ч, что физически невозможно.
Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 12$.

Скорость на отремонтированном участке равна 12 км/ч.
Скорость на участке с ремонтом равна $x - 4 = 12 - 4 = 8$ км/ч.
Ответ: скорость велосипедиста на участке с ремонтом — 8 км/ч, а на отремонтированном участке — 12 км/ч.