Номер 2, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 214.

2 Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

а) $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2;$

б) $\frac{x - 4}{12x + 3x^2};$

в) $\frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}.$

а) Данное выражение $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ является многочленом. Областью определения любого многочлена является множество всех действительных чисел, так как для любого действительного значения $x$ можно выполнить все указанные операции (умножение, сложение, вычитание).
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Данное выражение $\frac{x-4}{12x + 3x^2}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$12x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(4 + x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0$ или $4 + x = 0$
$x = 0$ или $x = -4$
Следовательно, при $x=0$ и $x=-4$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Для всех остальных значений $x$ выражение имеет смысл.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Данное выражение $\frac{x^2-3}{x^2+3}$ является дробью. Оно имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Проверим, при каких значениях $x$ знаменатель $x^2 + 3$ может быть равен нулю.
Выражение $x^2$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Тогда сумма $x^2 + 3$ всегда будет больше или равна 3: $x^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку знаменатель никогда не может быть равен нулю, выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.