Номер 6, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 6, страница 214.

6 Какие приёмы решения целых уравнений, степень которых выше второй, вам известны? Решите уравнение:

а) $x^3 + 2x^2 = 0;$

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0.$

Для решения целых уравнений, степень которых выше второй, известны следующие основные приёмы:

1. Разложение на множители. Этот метод заключается в представлении многочлена в виде произведения нескольких сомножителей (например, вынесением общего множителя за скобки, методом группировки или с помощью формул сокращённого умножения). Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю.

2. Введение новой переменной (метод замены). Этот приём используется для сведения уравнения к более простому, как правило, квадратному. Особенно часто он применяется для решения биквадратных уравнений вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$.

3. Подбор рациональных корней. Для многочлена с целыми коэффициентами можно попытаться найти целый корень среди делителей свободного члена. После нахождения корня $x_1$, многочлен можно разделить на двучлен $(x - x_1)$, тем самым понизив степень исходного уравнения.

---

а) $x^3 + 2x^2 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод разложения на множители. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 0$.

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Решим его методом введения новой переменной.
Пусть $t = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, новая переменная должна удовлетворять условию $t \ge 0$.
Заменив $x^2$ на $t$ в исходном уравнении, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1) $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$
2) $x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm2$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.