Номер 3, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 215.

3 Упростите выражение $\frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3}$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом. Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Умножение

Выполним умножение дробей: $ \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $.

Числитель первой дроби $ a^2 - 9 $ представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:

$ a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3) $.

Теперь произведение дробей можно записать в виде:

$ \frac{(a - 3)(a + 3)}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 3)} $.

Сократим общий множитель $ (a + 3) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a+3 \neq 0 $, то есть $ a \neq -3 $):

$ \frac{a - 3}{a} $.

2. Вычитание

Теперь подставим результат умножения в исходное выражение:

$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a - 3}{a} $.

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $ a^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $ a $ (при условии $ a \neq 0 $):

$ \frac{a - 3}{a} = \frac{a(a - 3)}{a \cdot a} = \frac{a^2 - 3a}{a^2} $.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 3a}{a^2} = \frac{(a^2 - 1) - (a^2 - 3a)}{a^2} $.

Раскроем скобки в числителе. Важно учесть знак "минус" перед второй дробью:

$ \frac{a^2 - 1 - a^2 + 3a}{a^2} $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2 - a^2) + 3a - 1}{a^2} = \frac{3a - 1}{a^2} $.

Ответ: $ \frac{3a - 1}{a^2} $