Страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Упростите выражение $\frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3}$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом. Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Умножение

Выполним умножение дробей: $ \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $.

Числитель первой дроби $ a^2 - 9 $ представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:

$ a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3) $.

Теперь произведение дробей можно записать в виде:

$ \frac{(a - 3)(a + 3)}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 3)} $.

Сократим общий множитель $ (a + 3) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a+3 \neq 0 $, то есть $ a \neq -3 $):

$ \frac{a - 3}{a} $.

2. Вычитание

Теперь подставим результат умножения в исходное выражение:

$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a - 3}{a} $.

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $ a^2 $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $ a $ (при условии $ a \neq 0 $):

$ \frac{a - 3}{a} = \frac{a(a - 3)}{a \cdot a} = \frac{a^2 - 3a}{a^2} $.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 3a}{a^2} = \frac{(a^2 - 1) - (a^2 - 3a)}{a^2} $.

Раскроем скобки в числителе. Важно учесть знак "минус" перед второй дробью:

$ \frac{a^2 - 1 - a^2 + 3a}{a^2} $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2 - a^2) + 3a - 1}{a^2} = \frac{3a - 1}{a^2} $.

Ответ: $ \frac{3a - 1}{a^2} $

4. Упростите выражение

$ \left( \frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y} \right) : \frac{4}{x^2 - y^2} $

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала вычитание в скобках, затем деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках

Выражение в скобках: $\frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей $(x+y)(x-y)$.

$\frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{(x+y)(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Объединим дроби под одним знаменателем и воспользуемся формулами сокращенного умножения для числителя: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$\frac{(x-y)^2 - (x+y)^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x^2-2xy+y^2) - (x^2+2xy+y^2)}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2-2xy+y^2 - x^2-2xy-y^2}{x^2-y^2} = \frac{-4xy}{x^2-y^2}$

2. Выполним деление

Теперь разделим результат первого действия на дробь $\frac{4}{x^2 - y^2}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-4xy}{x^2-y^2} : \frac{4}{x^2-y^2} = \frac{-4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{4}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $4$ и выражение $(x^2-y^2)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются (при условии, что $x^2-y^2 \neq 0$).

$\frac{-4xy \cdot (x^2-y^2)}{(x^2-y^2) \cdot 4} = -xy$

Упрощение справедливо при области допустимых значений: $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Ответ: $-xy$

5 Найдите корни уравнения:

а) $(2x - 3)(x + 1)(3 - x) = 0;$

б) $x^3 - 9x = 0;$

В) $x^4 + 3x^2 = 0;$

Г) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0.$

а) Дано уравнение $(2x - 3)(x + 1)(3 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $3 - x = 0 \implies x = 3$
Таким образом, уравнение имеет три корня: $1.5$, $-1$ и $3$.
Ответ: $-1; 1.5; 3$.

б) Дано уравнение $x^3 - 9x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Получаем уравнение: $x(x - 3)(x + 3) = 0$.
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 3 = 0 \implies x = 3$
3) $x + 3 = 0 \implies x = -3$
Корни уравнения: $0$, $3$ и $-3$.
Ответ: $-3; 0; 3$.

в) Дано уравнение $x^4 + 3x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$.

г) Дано уравнение $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Легко подобрать корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = t_1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$
2) $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm2$
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; 2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

6 Решите уравнение:

а) $ \frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2} $;

Б) $ \frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4} $;

В) $ x + \frac{4}{x} = 4 $;

Г) $ \frac{x^2-7x-8}{x+1} = 0 $;

Д) $ \frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1} $;

Е) $ \frac{1-x}{2-x} = 2 $.

а) Исходное уравнение: $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Приведем уравнение к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$ и умножим обе части на него, чтобы избавиться от дробей:
$3(x-2) - 5(x+2)(x-2) = 4(x+2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$3x - 6 - 5(x^2 - 4) = 4x + 8$
$3x - 6 - 5x^2 + 20 = 4x + 8$
$-5x^2 + 3x + 14 = 4x + 8$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$-5x^2 + 3x - 4x + 14 - 8 = 0$
$-5x^2 - x + 6 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$5x^2 + x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$
Оба корня ($1$ и $-1.2$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
Ответ: $-1.2; 1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Общий знаменатель для дробей в уравнении равен $4x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$4(x-3)(x+3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3)$
Раскроем скобки и упростим:
$4(x^2 - 9) + 28x = 5x^2 + 15x$
$4x^2 - 36 + 28x = 5x^2 + 15x$
Перенесем все члены в правую часть:
$5x^2 - 4x^2 + 15x - 28x + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $13$, а их произведение равно $36$. Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.
Оба корня ($4$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -3$).
Ответ: $4; 9$.

в) Исходное уравнение: $x + \frac{4}{x} = 4$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ (который не равен нулю согласно ОДЗ):
$x \cdot x + 4 = 4 \cdot x$
$x^2 + 4 = 4x$
Перенесем все в левую часть:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x-2)^2 = 0$
$x-2=0$
$x=2$
Найденный корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $2$.

г) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} x^2 - 7x - 8 = 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $-8$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \neq -1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию. Это посторонний корень.
Таким образом, у исходного уравнения только одно решение.
Ответ: $8$.

д) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -1$.
Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$x(x+1) = 10(x-2)$
Раскроем скобки:
$x^2 + x = 10x - 20$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 10x + 20 = 0$
$x^2 - 9x + 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Оба корня ($4$ и $5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).
Ответ: $4; 5$.

е) Исходное уравнение: $\frac{1-x}{2-x} = 2$.
ОДЗ: $2-x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2-x)$:
$1-x = 2(2-x)$
Раскроем скобки:
$1-x = 4 - 2x$
Соберем переменные в левой части, а константы в правой:
$2x - x = 4 - 1$
$x = 3$
Полученный корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $3$.

7 Решите задачу:

а) Лодка за одно и то же время может проплыть по течению реки 45 км, а против течения — 27 км. Скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка в стоячей воде?

б) Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км — по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь у него ушёл 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

а)

Пусть $v_л$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.
По условию, $v_т = 3$ км/ч.
Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v_л + v_т) = (v_л + 3)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки равна $(v_л - v_т) = (v_л - 3)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению (45 км), равно $t_1 = \frac{45}{v_л + 3}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения (27 км), равно $t_2 = \frac{27}{v_л - 3}$ ч.

По условию, время на оба пути одинаковое ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение:
$\frac{45}{v_л + 3} = \frac{27}{v_л - 3}$
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$45(v_л - 3) = 27(v_л + 3)$
$45v_л - 135 = 27v_л + 81$
$45v_л - 27v_л = 81 + 135$
$18v_л = 216$
$v_л = \frac{216}{18}$
$v_л = 12$

Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.
Ответ: скорость лодки в стоячей воде — 12 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на отремонтированном (втором) участке шоссе.
Тогда его скорость на участке, где шел ремонт (первый участок), была $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок (4 км), равно $t_1 = \frac{4}{x - 4}$ ч.
Время, затраченное на второй участок (6 км), равно $t_2 = \frac{6}{x}$ ч.

Общее время в пути составило 1 час, то есть $t_1 + t_2 = 1$. Составим и решим уравнение:
$\frac{4}{x - 4} + \frac{6}{x} = 1$
Ограничение: так как скорость не может быть отрицательной или нулевой, $x > 0$ и $x - 4 > 0$, следовательно $x > 4$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 4)$ и решим уравнение:
$4x + 6(x - 4) = 1 \cdot x(x - 4)$
$4x + 6x - 24 = x^2 - 4x$
$10x - 24 = x^2 - 4x$
$x^2 - 14x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$
$\sqrt{D} = 10$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x > 4$, так как при этой скорости, скорость на первом участке была бы $2 - 4 = -2$ км/ч, что физически невозможно.
Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 12$.

Скорость на отремонтированном участке равна 12 км/ч.
Скорость на участке с ремонтом равна $x - 4 = 12 - 4 = 8$ км/ч.
Ответ: скорость велосипедиста на участке с ремонтом — 8 км/ч, а на отремонтированном участке — 12 км/ч.

8 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 - 2y = 12 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = -14 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ x - y = 4 \end{cases}$

а)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = 2 \\x^2 - 2y = 12\end{cases}$$Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 2 - x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x^2 - 2(2 - x) = 12$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 - 4 + 2x = 12$
$x^2 + 2x - 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.
Найдем корни $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{17}}{2} = -1 + \sqrt{17}$
$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{17}}{2} = -1 - \sqrt{17}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 2 - x$:
Для $x_1 = -1 + \sqrt{17}$:
$y_1 = 2 - (-1 + \sqrt{17}) = 2 + 1 - \sqrt{17} = 3 - \sqrt{17}$
Для $x_2 = -1 - \sqrt{17}$:
$y_2 = 2 - (-1 - \sqrt{17}) = 2 + 1 + \sqrt{17} = 3 + \sqrt{17}$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1 + \sqrt{17}; 3 - \sqrt{17})$, $(-1 - \sqrt{17}; 3 + \sqrt{17})$.

б)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = 5 \\xy = -14\end{cases}$$Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим в это уравнение известные нам значения суммы ($x+y=5$) и произведения ($xy=-14$):
$t^2 - 5t - 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
Найдем корни $t_1$ и $t_2$:
$t_1 = \frac{-(-5) + 9}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-(-5) - 9}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Корни уравнения $t_1$ и $t_2$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что если $x=t_1$, то $y=t_2$, и наоборот.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(7; -2)$, $(-2; 7)$.

в)Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 26 \\x - y = 4\end{cases}$$Используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = y + 4$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 26$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 26$
$2y^2 + 8y + 16 - 26 = 0$
$2y^2 + 8y - 10 = 0$
Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$y^2 + 4y - 5 = 0$
Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Легко подобрать корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = -5$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $x = y + 4$:
Для $y_1 = 1$:
$x_1 = 1 + 4 = 5$
Для $y_2 = -5$:
$x_2 = -5 + 4 = -1$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(5; 1)$, $(-1; -5)$.

9 Вычислите координаты точек пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x - 2$.

Чтобы вычислить координаты точек пересечения графиков функций, необходимо найти общие точки, в которых значения x и y совпадают для обеих функций. Для этого мы приравниваем выражения для y друг другу.

Нам даны две функции: $y = 4 - x^2$ и $y = x - 2$.

Приравняем правые части этих уравнений:
$4 - x^2 = x - 2$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.
$0 = x^2 + x - 2 - 4$
$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу корней через дискриминант. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 1, b = 1, c = -6$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня, которые мы найдем по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Мы нашли абсциссы (координаты x) точек пересечения. Теперь необходимо найти соответствующие ординаты (координаты y). Для этого подставим каждое найденное значение x в уравнение любой из исходных функций. Проще всего использовать линейную функцию $y = x - 2$.

Для $x_1 = -3$:
$y_1 = -3 - 2 = -5$
Координаты первой точки пересечения: $(-3, -5)$.

Для $x_2 = 2$:
$y_2 = 2 - 2 = 0$
Координаты второй точки пересечения: $(2, 0)$.

Ответ: $(-3, -5)$ и $(2, 0)$.

10 Решите задачу:

а) Прямоугольный участок земли площадью $60\text{ м}^2$ обнесён изгородью, длина которой 32 м. Найдите стороны участка.

б) Диагональ прямоугольника равна 20 см, а одна сторона на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

а)
Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.
Площадь участка $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 60 \text{ м}^2$.
Следовательно, у нас есть первое уравнение: $a \cdot b = 60$.
Длина изгороди — это периметр прямоугольника $P$, который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 32 \text{ м}$.
Следовательно, у нас есть второе уравнение: $2(a+b) = 32$.
Из второго уравнения найдем сумму сторон: $a+b = \frac{32}{2} = 16$.
Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} a+b = 16 \\ a \cdot b = 60 \end{cases}$
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Подставим наши значения: $x^2 - 16x + 60 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16+4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Таким образом, стороны участка равны 10 м и 6 м.
Ответ: стороны участка равны 10 м и 6 м.

б)
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров. Диагональ $d = 20$ см.
По условию, одна сторона на 4 см больше другой. Пусть $a = b+4$.
В прямоугольнике диагональ и две смежные стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$.
Подставим известные значения в уравнение:
$(b+4)^2 + b^2 = 20^2$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$b^2 + 8b + 16 + b^2 = 400$
$2b^2 + 8b + 16 - 400 = 0$
$2b^2 + 8b - 384 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$b^2 + 4b - 192 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$.
Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+28}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$b_2 = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4-28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $b=12$ см.
Теперь найдем вторую сторону: $a = b+4 = 12+4 = 16$ см.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.

11 Используя графики (см. рис. 3.22, а), решите уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$.

Чтобы решить уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Она проходит через начало координат (0,0), точку (1,1) и точку (-1,-1). График симметричен относительно начала координат.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Она также проходит через точки (1,1) и (-1,-1) и симметрична относительно начала координат. При $x=0$ функция не определена.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках:

• Точка в первой координатной четверти с координатами $(1; 1)$.
• Точка в третьей координатной четверти с координатами $(-1; -1)$.

Абсциссы этих точек пересечения и являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 1$ и $x = -1$.

Для проверки можно решить уравнение аналитически. При условии, что $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:

$x^3 \cdot x = 1$

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$, что совпадает с графическим решением.

Ответ: $x = -1, x = 1$.