Страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

547 Из пункта A в пункт B выехал велосипедист, а за полчаса до него из пункта B в пункт A вышел турист. Они встретились в пункте C, расположенном на 14 км ближе к пункту B, чем к пункту A. Велосипедист прибыл в пункт B через $ \frac{3}{5} $ ч после встречи, а турист прибыл в пункт A через 5 ч после встречи. Каково расстояние от пункта A до места встречи? С какой скоростью шёл турист?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_в$ — скорость велосипедиста (км/ч);
$v_т$ — скорость туриста (км/ч);
$S_{AC}$ — расстояние от пункта A до места встречи C (км);
$S_{BC}$ — расстояние от пункта B до места встречи C (км);
$t_{AC}$ — время движения велосипедиста от A до C до встречи;
$t_{BC}$ — время движения туриста от B до C до встречи.

На основе условий задачи составим уравнения:
1. Турист вышел на полчаса (0,5 ч) раньше велосипедиста, поэтому до встречи он был в пути на 0,5 ч дольше: $t_{BC} = t_{AC} + 0.5$.
2. Место встречи C находится на 14 км ближе к пункту B, чем к пункту A: $S_{AC} = S_{BC} + 14$.
3. Путь, который велосипедист проехал до встречи, равен $S_{AC} = v_в \cdot t_{AC}$. Путь после встречи (от C до B) он проехал за $\frac{3}{5}$ ч: $S_{BC} = v_в \cdot \frac{3}{5}$.
4. Путь, который турист прошел до встречи, равен $S_{BC} = v_т \cdot t_{BC}$. Путь после встречи (от C до A) он прошел за 5 ч: $S_{AC} = v_т \cdot 5$.

Из уравнений для велосипедиста (пункт 3) можно выразить отношение расстояний: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_в \cdot t_{AC}}{v_в \cdot \frac{3}{5}} = \frac{t_{AC}}{3/5}$.
Из уравнений для туриста (пункт 4) также выразим это отношение: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_т \cdot 5}{v_т \cdot t_{BC}} = \frac{5}{t_{BC}}$.

Приравняв эти два выражения, получим: $\frac{t_{AC}}{3/5} = \frac{5}{t_{BC}}$, что приводит к ключевому соотношению между временами движения до встречи: $t_{AC} \cdot t_{BC} = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения времени $t_{AC}$ и $t_{BC}$:
1) $t_{BC} = t_{AC} + 0.5$
2) $t_{AC} \cdot t_{BC} = 3$
Подставим первое уравнение во второе: $t_{AC} \cdot (t_{AC} + 0.5) = 3$.
Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение: $t_{AC}^2 + 0.5t_{AC} - 3 = 0$. Для удобства решения умножим все члены на 2: $2t_{AC}^2 + t_{AC} - 6 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$.
$t_{AC} = \frac{-1 \pm 7}{4}$.
Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень: $t_{AC} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа.
Соответственно, время туриста до встречи: $t_{BC} = 1.5 + 0.5 = 2$ часа.

Каково расстояние от пункта А до места встречи?

Чтобы найти расстояние $S_{AC}$, сначала определим скорость туриста $v_т$. Мы знаем, что $S_{AC} = v_т \cdot 5$ и $S_{BC} = v_т \cdot t_{BC} = v_т \cdot 2$. Подставим эти выражения в известное нам соотношение $S_{AC} = S_{BC} + 14$:
$5 \cdot v_т = 2 \cdot v_т + 14$
$3 \cdot v_т = 14$
$v_т = \frac{14}{3}$ км/ч.
Теперь можем вычислить искомое расстояние от A до C:
$S_{AC} = v_т \cdot 5 = \frac{14}{3} \cdot 5 = \frac{70}{3} = 23 \frac{1}{3}$ км.

Ответ: расстояние от пункта А до места встречи равно $23 \frac{1}{3}$ км.

С какой скоростью шёл турист?

Скорость туриста $v_т$ была найдена в ходе решения предыдущего пункта. Она составляет:
$v_т = \frac{14}{3}$ км/ч.
Для наглядности представим это значение в виде смешанной дроби:
$v_т = 4 \frac{2}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость туриста была $4 \frac{2}{3}$ км/ч.

548 Туристский маршрут состоит из двух участков: 9 км подъёма и 12 км спуска. При подъёме скорость туристов на 3 км/ч меньше, чем при спуске, а их средняя скорость на всём маршруте равна 4,2 км/ч. Чему равна скорость туристов при спуске?

Обозначим искомую скорость туристов при спуске за $x$ км/ч. По условию задачи, скорость при подъёме на 3 км/ч меньше, следовательно, она составляет $(x - 3)$ км/ч. Так как скорость движения не может быть отрицательной или равной нулю, должно выполняться условие $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.

Определим общее расстояние и общее время движения туристов.
Общее расстояние маршрута: $S_{общ} = 9 \text{ км (подъём)} + 12 \text{ км (спуск)} = 21 \text{ км}$.

Время движения на каждом участке находится по формуле $t = \frac{S}{v}$ (время = расстояние / скорость):
Время на подъём: $t_{подъём} = \frac{9}{x - 3}$ ч.
Время на спуск: $t_{спуск} = \frac{12}{x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь маршрут:$T_{общ} = t_{подъём} + t_{спуск} = \frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x}$ ч.

Средняя скорость на всём маршруте ($v_{ср}$) вычисляется как отношение общего расстояния к общему времени: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$. По условию $v_{ср} = 4,2$ км/ч. Составим уравнение:

$4,2 = \frac{21}{\frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x}}$

Для решения уравнения сначала преобразуем знаменатель в правой части, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x} = \frac{9x + 12(x - 3)}{x(x - 3)} = \frac{9x + 12x - 36}{x^2 - 3x} = \frac{21x - 36}{x^2 - 3x}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$4,2 = \frac{21}{\frac{21x - 36}{x^2 - 3x}}$

Упростим "трёхэтажную" дробь:

$4,2 = \frac{21(x^2 - 3x)}{21x - 36}$

Представим $4,2$ в виде обыкновенной дроби: $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$.

$\frac{21}{5} = \frac{21(x^2 - 3x)}{21x - 36}$

Разделим обе части уравнения на 21:

$\frac{1}{5} = \frac{x^2 - 3x}{21x - 36}$

Воспользуемся правилом пропорции ("крест-накрест"):

$1 \cdot (21x - 36) = 5 \cdot (x^2 - 3x)$

$21x - 36 = 5x^2 - 15x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 15x - 21x + 36 = 0$

$5x^2 - 36x + 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 1296 - 720 = 576$

Найдём корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$

Проверим полученные корни на соответствие ранее установленному ограничению $x > 3$:
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 > 3$), поэтому он является решением. Скорость на подъёме в этом случае будет $6-3=3$ км/ч.
Корень $x_2 = 1,2$ не удовлетворяет условию ($1,2 \ngtr 3$). При такой скорости спуска скорость на подъёме была бы отрицательной, что лишено физического смысла. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость туристов при спуске составляет 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

549. Николай ездит с биостанции за почтой на велосипеде. Дорога от биостанции до почты идёт сначала 4 км в гору, а затем 8 км под гору. При подъёме скорость Николая в 2 раза меньше, чем при спуске. Найдите скорость, с которой Николай едет на каждом из этих участков, если его средняя скорость на пути к почте на 2,4 км/ч больше, чем на обратном пути.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость Николая при подъёме в гору равна $x$ км/ч. Согласно условию, его скорость при спуске в 2 раза больше, следовательно, она составляет $2x$ км/ч.

Сначала рассмотрим путь от биостанции до почты. Он состоит из подъёма длиной 4 км и спуска длиной 8 км. Общее расстояние этого пути составляет $S_1 = 4 + 8 = 12$ км.
Время, затраченное на этот путь, складывается из времени на подъём и времени на спуск:
$T_1 = \frac{4}{x} + \frac{8}{2x} = \frac{4}{x} + \frac{4}{x} = \frac{8}{x}$ ч.
Средняя скорость на пути к почте вычисляется как отношение общего пути к общему времени:
$v_{ср1} = \frac{S_1}{T_1} = \frac{12}{8/x} = \frac{12x}{8} = \frac{3x}{2}$ км/ч.

Теперь рассмотрим обратный путь от почты до биостанции. На этом пути участок, который был спуском (8 км), станет подъёмом, а участок, который был подъёмом (4 км), станет спуском. Общее расстояние $S_2$ также равно 12 км.
Время, затраченное на обратный путь:
$T_2 = \frac{8}{x} + \frac{4}{2x} = \frac{8}{x} + \frac{2}{x} = \frac{10}{x}$ ч.
Средняя скорость на обратном пути:
$v_{ср2} = \frac{S_2}{T_2} = \frac{12}{10/x} = \frac{12x}{10} = \frac{6x}{5}$ км/ч.

По условию задачи, средняя скорость на пути к почте на 2,4 км/ч больше, чем на обратном пути. Это можно записать в виде уравнения:
$v_{ср1} = v_{ср2} + 2,4$
$\frac{3x}{2} = \frac{6x}{5} + 2,4$

Решим это уравнение относительно $x$. Перенесём слагаемое с $x$ в левую часть:
$\frac{3x}{2} - \frac{6x}{5} = 2,4$
Приведём дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{15x}{10} - \frac{12x}{10} = 2,4$
$\frac{3x}{10} = 2,4$
$3x = 24$
$x = 8$

Мы нашли скорость Николая при подъёме в гору: $x = 8$ км/ч.
Теперь найдём скорость при спуске с горы: $2x = 2 \cdot 8 = 16$ км/ч.

Ответ: скорость Николая при подъёме в гору составляет 8 км/ч, а при спуске — 16 км/ч.

Решите систему уравнений (550–553).

550 a) $$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x + y) = 32 \\ x - y = 2; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x - y) = 20 \\ x + y = 5. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x + y) = 32 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первого уравнения:

$(x - y)(x + y)(x + y) = 32$

Упростим выражение:

$(x - y)(x + y)^2 = 32$

Из второго уравнения системы известно, что $x - y = 2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cdot (x + y)^2 = 32$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(x + y)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что выражение $x+y$ может принимать два значения:

$x + y = 4$ или $x + y = -4$

Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений.

1. Решим первую систему:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 4 + 2$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$.

Подставим значение $x=3$ в первое уравнение $x+y=4$: $3 + y = 4$, откуда $y = 1$.

Таким образом, первое решение: $(3, 1)$.

2. Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = -4 + 2$, что дает $2x = -2$, откуда $x = -1$.

Подставим значение $x=-1$ в первое уравнение $x+y=-4$: $-1 + y = -4$, откуда $y = -3$.

Таким образом, второе решение: $(-1, -3)$.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x - y) = 20 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Разложим выражение $x^2 - y^2$ в первом уравнении на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - y)(x + y)(x - y) = 20$

Упростим выражение:

$(x - y)^2(x + y) = 20$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y)^2 \cdot 5 = 20$

Разделим обе части уравнения на 5:

$(x - y)^2 = 4$

Из этого уравнения следует, что выражение $x-y$ может принимать два значения:

$x - y = 2$ или $x - y = -2$

Теперь решим две соответствующие системы линейных уравнений.

1. Решим первую систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + 2$, что дает $2x = 7$, откуда $x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Подставим значение $x=3.5$ в первое уравнение $x+y=5$: $3.5 + y = 5$, откуда $y = 1.5$.

Первое решение: $(3.5, 1.5)$.

2. Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -2 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 - 2$, что дает $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Подставим значение $x=1.5$ в первое уравнение $x+y=5$: $1.5 + y = 5$, откуда $y = 3.5$.

Второе решение: $(1.5, 3.5)$.

Ответ: $(3.5, 1.5), (1.5, 3.5)$.

551 a) $\begin{cases} (x - 3y)(x + 4) = 0 \\ x - 5y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 4y)(x - 3) = 0 \\ x + 3y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x - 1)(y + 4) = 0 \\ y^2 + xy - 2 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 2)(y - 1) = 0 \\ x^2 - xy - 12 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 3y)(x + 4) = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$

Первое уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

1)$\begin{cases}x - 3y = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$или 2)$\begin{cases}x + 4 = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности.

Система 1:
Из первого уравнения выражаем $x$: $x = 3y$.
Подставляем это выражение во второе уравнение:
$3y - 5y = 1$
$-2y = 1$
$y = -1/2$
Теперь находим $x$:
$x = 3y = 3 \cdot (-1/2) = -3/2$
Получаем решение $(-3/2; -1/2)$.

Система 2:
Из первого уравнения получаем $x = -4$.
Подставляем это значение во второе уравнение:
$-4 - 5y = 1$
$-5y = 1 + 4$
$-5y = 5$
$y = -1$
Получаем решение $(-4; -1)$.

Ответ: $(-3/2; -1/2)$, $(-4; -1)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x + 4y)(x - 3) = 0, \\x + 3y = 1.\end{cases}$

Первое уравнение распадается на два случая: $x + 4y = 0$ или $x - 3 = 0$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $x + 4y = 0 \implies x = -4y$.
Подставим $x = -4y$ во второе уравнение системы:
$(-4y) + 3y = 1$
$-y = 1$
$y = -1$
Тогда $x = -4y = -4(-1) = 4$.
Получаем решение $(4; -1)$.

Случай 2: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Подставим $x = 3$ во второе уравнение системы:
$3 + 3y = 1$
$3y = 1 - 3$
$3y = -2$
$y = -2/3$
Получаем решение $(3; -2/3)$.

Ответ: $(4; -1)$, $(3; -2/3)$.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 1)(y + 4) = 0, \\y^2 + xy - 2 = 0.\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x - 1 = 0$, либо $y + 4 = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ во второе уравнение:
$y^2 + (1) \cdot y - 2 = 0$
$y^2 + y - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его (например, по теореме Виета):
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -2$
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$.
Получаем два решения: $(1; 1)$ и $(1; -2)$.

Случай 2: $y + 4 = 0 \implies y = -4$.
Подставим $y = -4$ во второе уравнение:
$(-4)^2 + x(-4) - 2 = 0$
$16 - 4x - 2 = 0$
$14 - 4x = 0$
$4x = 14$
$x = 14/4 = 7/2$
Получаем решение $(7/2; -4)$.

Ответ: $(1; 1)$, $(1; -2)$, $(7/2; -4)$.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x + 2)(y - 1) = 0, \\x^2 - xy - 12 = 0.\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x + 2 = 0$, либо $y - 1 = 0$.

Случай 1: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение:
$(-2)^2 - (-2)y - 12 = 0$
$4 + 2y - 12 = 0$
$2y - 8 = 0$
$2y = 8$
$y = 4$
Получаем решение $(-2; 4)$.

Случай 2: $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
Подставим $y = 1$ во второе уравнение:
$x^2 - x(1) - 12 = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его (например, разложением на множители):
$(x - 4)(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Получаем два решения: $(4; 1)$ и $(-3; 1)$.

Ответ: $(-2; 4)$, $(4; 1)$, $(-3; 1)$.

552 a) $\begin{cases} (x-2)(y-2) = -1 \\ x+y=4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x-y=4 \\ (x-1)(y+1)=-1. \end{cases}$

Указание. а) Представьте первое уравнение в виде

$xy - 2(x + y) + 4 = -1.$

Далее используйте условие $x + y = 4.$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x-2)(y-2) = -1 \\ x+y = 4 \end{cases} $

Следуя указанию, раскроем скобки в первом уравнении системы:

$(x-2)(y-2) = xy - 2x - 2y + 4 = xy - 2(x+y) + 4$.

После раскрытия скобок первое уравнение примет вид:

$xy - 2(x+y) + 4 = -1$.

Теперь используем второе уравнение системы, $x+y=4$, и подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$xy - 2(4) + 4 = -1$

$xy - 8 + 4 = -1$

$xy - 4 = -1$

$xy = 3$.

Таким образом, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} x+y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим в него значения суммы и произведения:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ (x-1)(y+1) = -1 \end{cases} $

Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки во втором уравнении:

$(x-1)(y+1) = xy + x - y - 1 = xy + (x-y) - 1$.

После преобразования второе уравнение примет вид:

$xy + (x-y) - 1 = -1$.

Теперь подставим в него значение $x-y$ из первого уравнения системы, то есть $x-y=4$:

$xy + 4 - 1 = -1$

$xy + 3 = -1$

$xy = -4$.

Теперь исходная система уравнений равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ xy = -4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 4$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y+4)y = -4$

$y^2 + 4y = -4$

$y^2 + 4y + 4 = 0$.

Полученное уравнение является полным квадратом:

$(y+2)^2 = 0$.

Отсюда находим единственное значение для $y$:

$y+2=0 \Rightarrow y = -2$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=-2$ в выражение $x=y+4$:

$x = -2 + 4 = 2$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.