Номер 547, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 547, страница 210.

547 Из пункта A в пункт B выехал велосипедист, а за полчаса до него из пункта B в пункт A вышел турист. Они встретились в пункте C, расположенном на 14 км ближе к пункту B, чем к пункту A. Велосипедист прибыл в пункт B через $ \frac{3}{5} $ ч после встречи, а турист прибыл в пункт A через 5 ч после встречи. Каково расстояние от пункта A до места встречи? С какой скоростью шёл турист?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_в$ — скорость велосипедиста (км/ч);
$v_т$ — скорость туриста (км/ч);
$S_{AC}$ — расстояние от пункта A до места встречи C (км);
$S_{BC}$ — расстояние от пункта B до места встречи C (км);
$t_{AC}$ — время движения велосипедиста от A до C до встречи;
$t_{BC}$ — время движения туриста от B до C до встречи.

На основе условий задачи составим уравнения:
1. Турист вышел на полчаса (0,5 ч) раньше велосипедиста, поэтому до встречи он был в пути на 0,5 ч дольше: $t_{BC} = t_{AC} + 0.5$.
2. Место встречи C находится на 14 км ближе к пункту B, чем к пункту A: $S_{AC} = S_{BC} + 14$.
3. Путь, который велосипедист проехал до встречи, равен $S_{AC} = v_в \cdot t_{AC}$. Путь после встречи (от C до B) он проехал за $\frac{3}{5}$ ч: $S_{BC} = v_в \cdot \frac{3}{5}$.
4. Путь, который турист прошел до встречи, равен $S_{BC} = v_т \cdot t_{BC}$. Путь после встречи (от C до A) он прошел за 5 ч: $S_{AC} = v_т \cdot 5$.

Из уравнений для велосипедиста (пункт 3) можно выразить отношение расстояний: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_в \cdot t_{AC}}{v_в \cdot \frac{3}{5}} = \frac{t_{AC}}{3/5}$.
Из уравнений для туриста (пункт 4) также выразим это отношение: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_т \cdot 5}{v_т \cdot t_{BC}} = \frac{5}{t_{BC}}$.

Приравняв эти два выражения, получим: $\frac{t_{AC}}{3/5} = \frac{5}{t_{BC}}$, что приводит к ключевому соотношению между временами движения до встречи: $t_{AC} \cdot t_{BC} = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения времени $t_{AC}$ и $t_{BC}$:
1) $t_{BC} = t_{AC} + 0.5$
2) $t_{AC} \cdot t_{BC} = 3$
Подставим первое уравнение во второе: $t_{AC} \cdot (t_{AC} + 0.5) = 3$.
Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение: $t_{AC}^2 + 0.5t_{AC} - 3 = 0$. Для удобства решения умножим все члены на 2: $2t_{AC}^2 + t_{AC} - 6 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$.
$t_{AC} = \frac{-1 \pm 7}{4}$.
Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень: $t_{AC} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа.
Соответственно, время туриста до встречи: $t_{BC} = 1.5 + 0.5 = 2$ часа.

Каково расстояние от пункта А до места встречи?

Чтобы найти расстояние $S_{AC}$, сначала определим скорость туриста $v_т$. Мы знаем, что $S_{AC} = v_т \cdot 5$ и $S_{BC} = v_т \cdot t_{BC} = v_т \cdot 2$. Подставим эти выражения в известное нам соотношение $S_{AC} = S_{BC} + 14$:
$5 \cdot v_т = 2 \cdot v_т + 14$
$3 \cdot v_т = 14$
$v_т = \frac{14}{3}$ км/ч.
Теперь можем вычислить искомое расстояние от A до C:
$S_{AC} = v_т \cdot 5 = \frac{14}{3} \cdot 5 = \frac{70}{3} = 23 \frac{1}{3}$ км.

Ответ: расстояние от пункта А до места встречи равно $23 \frac{1}{3}$ км.

С какой скоростью шёл турист?

Скорость туриста $v_т$ была найдена в ходе решения предыдущего пункта. Она составляет:
$v_т = \frac{14}{3}$ км/ч.
Для наглядности представим это значение в виде смешанной дроби:
$v_т = 4 \frac{2}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость туриста была $4 \frac{2}{3}$ км/ч.