Номер 541, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 541, страница 209.

541 а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0;$ б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5.$

Указание.

а) Используя формулу $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x + \frac{1}{x}$. Далее введите замену: $x + \frac{1}{x} = y$.

б) Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x - \frac{1}{x}$.

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Следуя указанию, выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x + \frac{1}{x}$. Используем формулу $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$2(y^2 - 2) - 3y + 2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 4 - 3y + 2 = 0$

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y=2$, то $x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \ne 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x_1 = 1$.

2) Если $y = -\frac{1}{2}$, то $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -x$

$2x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5$

Это уравнение также является возвратным. ОДЗ: $x \ne 0$.

Следуя указанию, выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x - \frac{1}{x}$. Используем формулу $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\left(\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5$

Введем замену переменной. Пусть $z = x - \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$4(z^2 + 2) - 8z = 5$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $z$:

$4z^2 + 8 - 8z - 5 = 0$

$4z^2 - 8z + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $z$.

1) Если $z=\frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 - 2 = 3x$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

2) Если $z = \frac{1}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 - 2 = x$

$2x^2 - x - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}; \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$.