Номер 539, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 539, страница 208.

539 а) $ \frac{1}{2 - x} - 1 = \frac{1}{x - 2} - \frac{6 - x}{3x^2 - 12} $

б) $ \frac{1}{x - 3} - \frac{x + 8}{2x^2 - 18} = \frac{1}{3 - x} - 1 $

а)
Решим уравнение: $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.
Теперь преобразуем уравнение. Используем свойство $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$ и разложим знаменатель $3x^2 - 12$ на множители: $3(x-2)(x+2)$.
$-\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
$\frac{2}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$:
$\frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot 3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
$\frac{6(x+2) + 3(x^2-4) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель не равен, что мы учли в ОДЗ).
$6(x+2) + 3(x^2-4) - (6-x) = 0$
$6x + 12 + 3x^2 - 12 - 6 + x = 0$
Приводим подобные члены:
$3x^2 + 7x - 6 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня $-3$ и $\frac{2}{3}$ входят в ОДЗ.
Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

б)
Решим уравнение: $\frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2x^2 - 18} = \frac{1}{3-x} - 1$.
Найдем ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$2x^2 - 18 \neq 0 \implies 2(x^2 - 9) \neq 0 \implies 2(x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$
ОДЗ: $x \neq \pm 3$.
Преобразуем уравнение, используя $\frac{1}{3-x} = -\frac{1}{x-3}$ и $2x^2 - 18 = 2(x-3)(x+3)$.
$\frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x-3} - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$
$\frac{2}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю $2(x-3)(x+3)$:
$\frac{2 \cdot 2(x+3)}{2(x-3)(x+3)} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + \frac{1 \cdot 2(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+3)} = 0$
$\frac{4(x+3) - (x+8) + 2(x^2-9)}{2(x-3)(x+3)} = 0$
Приравниваем числитель к нулю:
$4(x+3) - (x+8) + 2(x^2-9) = 0$
$4x + 12 - x - 8 + 2x^2 - 18 = 0$
Приводим подобные члены:
$2x^2 + 3x - 14 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3,5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Оба корня $-3,5$ и $2$ входят в ОДЗ.
Ответ: $-3,5; 2$.