Номер 537, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 537, страница 208.

537 Решите уравнение двумя способами:

а) $x^6 - 1 = 0$;

б) $x^6 - 64 = 0$.

Указание. 1-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность квадратов;

2-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность кубов.

a)

Решим уравнение $x^6 - 1 = 0$.

1-й способ: представим левую часть уравнения как разность квадратов.

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^3 - 1 = 0$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Отсюда либо $x - 1 = 0$, что дает корень $x_1 = 1$, либо $x^2 + x + 1 = 0$. Для квадратного уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $x^3 + 1 = 0$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Отсюда либо $x + 1 = 0$, что дает корень $x_2 = -1$, либо $x^2 - x + 1 = 0$. Для этого уравнения дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2-й способ: представим левую часть уравнения как разность кубов.

$x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1^3 = (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2 \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^2 - 1 = 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем уравнение $t^2 + t + 1 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому действительных корней для $t$ (и, следовательно, для $x$) нет.

Оба способа приводят к одинаковым действительным корням.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

---

б)

Решим уравнение $x^6 - 64 = 0$.

1-й способ: представим левую часть уравнения как разность квадратов.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^3 - 8 = 0$, или $x^3 - 2^3 = 0$. По формуле разности кубов: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$. Отсюда либо $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$, либо $x^2 + 2x + 4 = 0$. Дискриминант второго уравнения $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, действительных корней нет.

2) $x^3 + 8 = 0$, или $x^3 + 2^3 = 0$. По формуле суммы кубов: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$. Отсюда либо $x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$, либо $x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант второго уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, действительных корней нет.

2-й способ: представим левую часть уравнения как разность кубов.

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2) $x^4 + 4x^2 + 16 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Уравнение примет вид $t^2 + 4t + 16 = 0$. Его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, действительных корней нет. Также можно заметить, что для любого действительного $x$ выражение $x^4 + 4x^2 + 16$ всегда положительно ($ \ge 16$), поэтому оно не может равняться нулю.

Оба способа приводят к одинаковым действительным корням.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.