Номер 538, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 538, страница 208.

Решите уравнение (538–542).

538 a) $ \frac{6}{x^2 - 2x} - \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x} $

б) $ \frac{27}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 - 3x} $

а) $ \frac{6}{x^2 - 2x} - \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$ x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.

$ x^2 + 2x \neq 0 \implies x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

$ x \neq 0 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -2; x \neq 0; x \neq 2 $.

2. Разложим знаменатели на множители и перепишем уравнение:

$ \frac{6}{x(x - 2)} - \frac{12}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} $

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x-2)(x+2) $. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$ 6(x+2) - 12(x-2) = 1 \cdot (x-2)(x+2) $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 6x + 12 - 12x + 24 = x^2 - 4 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -6x + 36 = x^2 - 4 $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$ x^2 + 6x - 36 - 4 = 0 $

$ x^2 + 6x - 40 = 0 $

5. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 14}{2} $

$ x_1 = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $

$ x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ( -10 и 4 ) не равны -2, 0 или 2, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -10; 4.

---

б) $ \frac{27}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 - 3x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$ x^2 + 3x \neq 0 \implies x(x+3) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq -3 $.

$ x \neq 0 $.

$ x^2 - 3x \neq 0 \implies x(x-3) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -3; x \neq 0; x \neq 3 $.

2. Перенесем все члены в левую часть и разложим знаменатели на множители:

$ \frac{27}{x(x + 3)} - \frac{2}{x} - \frac{3}{x(x - 3)} = 0 $

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x+3)(x-3) $. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$ 27(x-3) - 2(x+3)(x-3) - 3(x+3) = 0 $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение. Используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ 27(x-3) - 2(x^2 - 9) - 3(x+3) = 0 $

$ 27x - 81 - 2x^2 + 18 - 3x - 9 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -2x^2 + (27x - 3x) + (-81 + 18 - 9) = 0 $

$ -2x^2 + 24x - 72 = 0 $

5. Разделим все уравнение на -2 для упрощения:

$ x^2 - 12x + 36 = 0 $

Полученное уравнение является полным квадратом:

$ (x - 6)^2 = 0 $

Отсюда находим корень:

$ x - 6 = 0 \implies x = 6 $

6. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Корень $ x=6 $ не равен -3, 0 или 3, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Ответ: 6.