Номер 540, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 540, страница 209.

540 а) $1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{x^2+x-12}$

б) $1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{x^2-2x-3} - \frac{4}{x-3}$

В) $\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2-2x+4} = \frac{24}{x^3+8}$

Г) $\frac{3x}{x^3-1} - \frac{3}{x^2+x+1} = \frac{1}{x-1}$

а) $1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{x^2 + x - 12}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

Разложим знаменатель $x^2 + x - 12$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ по теореме Виета равны -4 и 3. Следовательно, $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{(x-3)(x+4)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$1 + \frac{x-4}{x-3} - \frac{x}{x+4} - \frac{7x}{(x-3)(x+4)} = 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-3)(x+4)$:

$\frac{(x-3)(x+4)}{(x-3)(x+4)} + \frac{(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+4)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)} - \frac{7x}{(x-3)(x+4)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, приравняем числитель к нулю:

$(x-3)(x+4) + (x-4)(x+4) - x(x-3) - 7x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + 4x - 3x - 12) + (x^2 - 16) - (x^2 - 3x) - 7x = 0$

$x^2 + x - 12 + x^2 - 16 - x^2 + 3x - 7x = 0$

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 \cdot x_2 = -28$ и $x_1 + x_2 = 3$.

Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+4$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 7

б) $1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{x^2 - 2x - 3} - \frac{4}{x-3}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны 3 и -1. Следовательно, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

Перепишем уравнение:

$1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{(x-3)(x+1)} - \frac{4}{x-3}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-3)(x+1)$:

$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+1)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+1)} - \frac{5}{(x-3)(x+1)} + \frac{4(x+1)}{(x-3)(x+1)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$(x-3)(x+1) - 2(x-3) - 5 + 4(x+1) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x - 3) - (2x - 6) - 5 + (4x + 4) = 0$

$x^2 - 2x - 3 - 2x + 6 - 5 + 4x + 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-2x - 2x + 4x) + (-3 + 6 - 5 + 4) = 0$

$x^2 + 0x + 2 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: нет корней

в) $\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2 - 2x + 4} = \frac{24}{x^3 + 8}$

Знаменатель $x^3+8$ можно разложить по формуле суммы кубов: $x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Выражение $x^2 - 2x + 4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Перепишем уравнение с общим знаменателем $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$:

$\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2 - 2x + 4} - \frac{24}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(x^2 - 2x + 4)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} - \frac{6(x+2)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} - \frac{24}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2(x^2 - 2x + 4) - 6(x+2) - 24 = 0$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 4x + 8 - 6x - 12 - 24 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 10x - 28 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -14$ и $x_1 + x_2 = 5$.

Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: 7

г) $\frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{3}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x-1}$

Знаменатель $x^3-1$ можно разложить по формуле разности кубов: $x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1)$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$.

Перепишем уравнение и перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{3x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{x^2 + x + 1} - \frac{1}{x-1} = 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x^2 + x + 1)$:

$\frac{3x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{1(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3x - 3(x-1) - (x^2 + x + 1) = 0$

Раскроем скобки:

$3x - 3x + 3 - x^2 - x - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 - x + 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = -1$.

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2