Номер 535, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 535, страница 208.

535 a) $(x^2 - 5x)^2 + (x^2 - 25)^2 = 0;$

б) $(x^2 - 4)^2 + (x^2 + 4x)^2 = 0;$

в) $(x^2 - 5x + 6)^2 + (x^2 - 3x + 2)^2 = 0;$

г) $(x^2 - 3x - 4)^2 + (x^2 - x - 2)^2 = 0.$

Указание. Воспользуйтесь тем, что при любом $a$ верно неравенство $a^2 \ge 0$.

Все представленные уравнения имеют вид $A^2 + B^2 = 0$. Согласно указанию, квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $A^2 \ge 0$ и $B^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Следовательно, каждое уравнение равносильно системе, в которой оба выражения под знаком квадрата приравниваются к нулю: $\begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases}$. Решением исходного уравнения будет общее решение уравнений системы.

а) $(x^2 - 5x)^2 + (x^2 - 25)^2 = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 5x = 0 \\ x^2 - 25 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Его корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 25 = 0$. Отсюда $x^2 = 25$. Его корни: $x_3 = 5$, $x_4 = -5$.

Общим решением системы является значение $x$, которое является корнем обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{0, 5\}$ и $\{-5, 5\}$, находим общий корень $x = 5$.

Ответ: $5$.

б) $(x^2 - 4)^2 + (x^2 + 4x)^2 = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 + 4x = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x^2 = 4$. Его корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Решим второе уравнение: $x^2 + 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 4) = 0$. Его корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -4$.

Сравним множества решений: $\{2, -2\}$ и $\{0, -4\}$. Общих корней у уравнений нет, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $(x^2 - 5x + 6)^2 + (x^2 - 3x + 2)^2 = 0$

Уравнение сводится к решению системы:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases}$

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Решим второе квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни этого уравнения: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.

Сравнивая множества корней $\{2, 3\}$ и $\{1, 2\}$, находим единственный общий корень $x = 2$.

Ответ: $2$.

г) $(x^2 - 3x - 4)^2 + (x^2 - x - 2)^2 = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 = 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \end{cases}$

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Решим второе квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$, то есть $x_3 = -1$ и $x_4 = 2$.

Сравнивая множества корней $\{-1, 4\}$ и $\{-1, 2\}$, находим единственный общий корень $x = -1$.

Ответ: $-1$.