Номер 533, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 533, страница 208.

533 a) $(2x - 7)^2 = (9 - x)^2;$

Б) $(x - 4)^2 = (3x + 2)^2;$

В) $(x^2 - 8x + 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2;$

Г) $(x^2 - 4x - 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2.$

а) $(2x - 7)^2 = (9 - x)^2$

Данное уравнение имеет вид $A^2 = B^2$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

1) Приравняем выражения в скобках:

$2x - 7 = 9 - x$

$2x + x = 9 + 7$

$3x = 16$

$x_1 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

2) Приравняем одно выражение к другому с противоположным знаком:

$2x - 7 = -(9 - x)$

$2x - 7 = -9 + x$

$2x - x = -9 + 7$

$x_2 = -2$

Ответ: $-2; 5\frac{1}{3}$.

б) $(x - 4)^2 = (3x + 2)^2$

Решаем аналогично предыдущему уравнению, рассматривая два случая.

1) $x - 4 = 3x + 2$

$x - 3x = 2 + 4$

$-2x = 6$

$x_1 = -3$

2) $x - 4 = -(3x + 2)$

$x - 4 = -3x - 2$

$x + 3x = 4 - 2$

$4x = 2$

$x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $-3; 0.5$.

в) $(x^2 - 8x + 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2$

Применяем тот же метод.

1) $x^2 - 8x + 10 = x^2 - 2x + 2$

$-8x + 10 = -2x + 2$

$-8x + 2x = 2 - 10$

$-6x = -8$

$x_1 = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

2) $x^2 - 8x + 10 = -(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 8x + 10 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 10x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Ответ: $1\frac{1}{3}; 2; 3$.

г) $(x^2 - 4x - 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2$

Используем тот же подход.

1) $x^2 - 4x - 10 = x^2 - 2x + 2$

$-4x - 10 = -2x + 2$

$-4x + 2x = 2 + 10$

$-2x = 12$

$x_1 = -6$

2) $x^2 - 4x - 10 = -(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 4x - 10 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корни уравнения: $x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.

Ответ: $-6; -1; 4$.