Номер 530, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 530, страница 207.

530 a) $(a + b + c)(bc + ac + ab) - abc = (b + c)(c + a)(a + b);$

б) $(a - b)(b - c)(a - c) = ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b).$

а)

Чтобы доказать тождество $(a + b + c)(bc + ac + ab) - abc = (b + c)(c + a)(a + b)$, преобразуем его правую часть.

Обозначим $S = a + b + c$. Тогда можно выразить каждую скобку в правой части через $S$:

$b + c = (a + b + c) - a = S - a$

$c + a = (a + b + c) - b = S - b$

$a + b = (a + b + c) - c = S - c$

Подставим эти выражения в правую часть тождества:

$(b + c)(c + a)(a + b) = (S - a)(S - b)(S - c)$

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые две:

$(S - a)(S - b) = S^2 - bS - aS + ab = S^2 - (a + b)S + ab$

Теперь умножим результат на $(S - c)$:

$(S^2 - (a + b)S + ab)(S - c) = S(S^2 - (a + b)S + ab) - c(S^2 - (a + b)S + ab)$

$= S^3 - (a + b)S^2 + abS - cS^2 + c(a + b)S - abc$

Сгруппируем слагаемые с $S^2$ и $S$:

$= S^3 - (a + b + c)S^2 + (ab + ac + bc)S - abc$

Поскольку $S = a + b + c$, заменим $(a + b + c)$ на $S$:

$= S^3 - S \cdot S^2 + (ab + bc + ca)S - abc$

$= S^3 - S^3 + (ab + bc + ca)S - abc$

$= (ab + bc + ca)S - abc$

Наконец, подставим обратно $S = a + b + c$:

$= (ab + bc + ca)(a + b + c) - abc$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a - b)(b - c)(a - c) = ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b)$, преобразуем его правую часть.

Начнем с выражения в правой части:

$ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b)$

Заметим, что $c - b = -(b - c)$. Подставим это в последнее слагаемое:

$-bc(c - b) = -bc(-(b - c)) = bc(b - c)$

Теперь правая часть выглядит так:

$ab(a - b) - ac(a - c) + bc(b - c)$

Представим множитель $(a - c)$ в виде суммы двух других разностей: $a - c = (a - b) + (b - c)$.

Подставим это выражение в средний член:

$ab(a - b) - ac((a - b) + (b - c)) + bc(b - c)$

Раскроем скобки в среднем члене:

$ab(a - b) - ac(a - b) - ac(b - c) + bc(b - c)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(a - b)$ и $(b - c)$:

$(ab(a - b) - ac(a - b)) + (bc(b - c) - ac(b - c))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(a - b)(ab - ac) + (b - c)(bc - ac)$

Вынесем общие множители из вторых скобок:

$(a - b)a(b - c) + (b - c)c(b - a)$

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это во второе слагаемое:

$(a - b)a(b - c) + (b - c)c(-(a - b)) = (a - b)a(b - c) - (b - c)c(a - b)$

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $(a - b)(b - c)$:

$(a - b)(b - c)(a - c)$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.