Номер 536, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 536, страница 208.

536 1)

a) $x^3 - 2x = 0;$

б) $5x^3 + 5x = 0;$

в) $x^4 + x = 0;$

г) $7x^4 + 14x^2 = 0;$

д) $16x - 2x^3 = 0;$

е) $x^4 - 8x = 0.$

2) Составьте уравнение третьей степени и уравнение четвёртой степени, каждое из которых имеет два корня: $0$ и $-2$.

1) a)
Дано уравнение: $x^3 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$
Корни уравнения: $0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}$.
Ответ: $0; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

1) б)
Дано уравнение: $5x^3 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x^2 + 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $5x = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Единственный корень уравнения: $0$.
Ответ: $0$.

1) в)
Дано уравнение: $x^4 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x_2 = -1$
Корни уравнения: $0, -1$.
Ответ: $0; -1$.

1) г)
Дано уравнение: $7x^4 + 14x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $7x^2$ за скобки:
$7x^2(x^2 + 2) = 0$
Получаем два случая:
1) $7x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный корень уравнения: $0$.
Ответ: $0$.

1) д)
Дано уравнение: $16x - 2x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(8 - x^2) = 0$
Получаем два случая:
1) $2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
2) $8 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$
Корни уравнения: $0, -2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$.
Ответ: $0; -2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$.

1) е)
Дано уравнение: $x^4 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 - 8) = 0$
Получаем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x_2 = 2$
Корни уравнения: $0, 2$.
Ответ: $0; 2$.

2)
Если уравнение имеет корни $0$ и $-2$, то в разложении его левой части на множители должны присутствовать множители $(x-0)=x$ и $(x-(-2))=x+2$.

Уравнение третьей степени:
Чтобы получить многочлен третьей степени, имеющий только эти два корня, один из корней должен быть кратным. Например, пусть корень $x=0$ имеет кратность 2. Тогда уравнение примет вид:
$x \cdot x \cdot (x+2) = 0$
$x^2(x+2) = 0$
$x^3 + 2x^2 = 0$
Это уравнение третьей степени с корнями $0$ и $-2$.

Уравнение четвёртой степени:
Аналогично, для получения многочлена четвёртой степени, можно увеличить кратность корней. Например, можно взять корень $x=0$ кратностью 3.
$x \cdot x \cdot x \cdot (x+2) = 0$
$x^3(x+2) = 0$
$x^4 + 2x^3 = 0$
Это уравнение четвёртой степени с корнями $0$ и $-2$.

Ответ: уравнение третьей степени, например: $x^3 + 2x^2 = 0$; уравнение четвёртой степени, например: $x^4 + 2x^3 = 0$.