Номер 543, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 543, страница 209.

Решите задачу (543–549).

543 Два велосипедиста отправились одновременно из города в посёлок. Скорость первого велосипедиста была на 2 км/ч больше, чем скорость второго велосипедиста. Поэтому он приехал в посёлок на 15 мин раньше второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если расстояние от города до посёлка 36 км.

543

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Поскольку скорость первого велосипедиста на 2 км/ч больше, то его скорость составляет $(x + 2)$ км/ч.

Расстояние от города до посёлка равно 36 км. Время в пути определяется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на путь второй велосипедист, составляет $t_2 = \frac{36}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь первый велосипедист, составляет $t_1 = \frac{36}{x+2}$ часов.

В условии сказано, что первый велосипедист приехал на 15 минут раньше второго. Необходимо перевести минуты в часы для согласованности единиц измерения: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени прибытия составляет $t_2 - t_1$. Составим уравнение на основе данных задачи: $\frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{36(x+2) - 36x}{x(x+2)} = \frac{1}{4}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{36x + 72 - 36x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$
Упростим числитель: $\frac{72}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $1 \cdot (x^2 + 2x) = 72 \cdot 4$
$x^2 + 2x = 288$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 288 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $a = 1, b = 2, c = -288$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-2 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.