Номер 546, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 546, страница 209.

546 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус, и одновременно с ним из $B$ в $A$ выехал автомобиль. Они встретились в пункте $C$, причём расстояние, пройденное автомобилем до места встречи, оказалось на 50 км больше пройденного автобусом. Автобус прибыл в конечный пункт через 3 ч после встречи, а автомобиль — через 1 ч 20 мин. На каком расстоянии от пункта $A$ произошла встреча? За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_б$ — скорость автобуса (в км/ч);
• $v_а$ — скорость автомобиля (в км/ч);
• $t$ — время от начала движения до встречи (в часах);
• $S_{AC}$ — расстояние от пункта А до места встречи C (в км);
• $S_{BC}$ — расстояние от пункта B до места встречи C (в км).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Расстояния, пройденные автобусом и автомобилем до встречи в пункте C, равны:
$S_{AC} = v_б \cdot t$ (1)
$S_{BC} = v_а \cdot t$ (2)

По условию, расстояние, пройденное автомобилем до встречи, на 50 км больше, чем пройденное автобусом:
$S_{BC} = S_{AC} + 50$ (3)

После встречи автобусу потребовалось 3 часа, чтобы проехать оставшееся расстояние $S_{BC}$, а автомобилю — 1 час 20 минут, чтобы проехать расстояние $S_{AC}$.
Переведем время движения автомобиля после встречи в часы: $1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 1\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, можем записать:
$S_{BC} = v_б \cdot 3$ (4)
$S_{AC} = v_а \cdot \frac{4}{3}$ (5)

Ключевым моментом для решения является то, что отношение расстояний, пройденных до встречи, равно отношению скоростей. Также отношение расстояний, пройденных после встречи, равно отношению времен, затраченных на эти участки.
До встречи автобус проехал $S_{AC}$, а автомобиль $S_{BC}$. После встречи автобус проехал $S_{BC}$ за 3 часа, а автомобиль $S_{AC}$ за $\frac{4}{3}$ часа.
Это означает, что время, которое требуется каждому транспортному средству для преодоления одного и того же участка пути, пропорционально. Отношение времени до встречи ($t$) к времени после встречи для каждого будет одинаковым для "чужого" участка пути.
То есть, $\frac{t_{автобус\_до}}{t_{автомобиль\_после}} = \frac{t_{автомобиль\_до}}{t_{автобус\_после}}$.
$\frac{t}{4/3} = \frac{t}{3}$ — это неверно. Правильное соотношение выводится через скорости и расстояния.

Давайте воспользуемся другим подходом. Выразим отношение скоростей $\frac{v_б}{v_а}$ двумя способами.
Из уравнений (1) и (2) имеем: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_б \cdot t}{v_а \cdot t} = \frac{v_б}{v_а}$.
Из уравнений (4) и (5) имеем: $v_б = \frac{S_{BC}}{3}$ и $v_а = \frac{S_{AC}}{4/3} = \frac{3S_{AC}}{4}$.
Тогда $\frac{v_б}{v_а} = \frac{S_{BC}/3}{3S_{AC}/4} = \frac{S_{BC}}{3} \cdot \frac{4}{3S_{AC}} = \frac{4S_{BC}}{9S_{AC}}$.

Приравняем два полученных выражения для $\frac{v_б}{v_а}$:
$\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{4S_{BC}}{9S_{AC}}$
$9(S_{AC})^2 = 4(S_{BC})^2$
Так как расстояния являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3S_{AC} = 2S_{BC}$

Теперь мы можем найти значения $S_{AC}$ и $S_{BC}$, используя уравнение (3): $S_{BC} = S_{AC} + 50$.
Подставим это выражение в предыдущее равенство:
$3S_{AC} = 2(S_{AC} + 50)$
$3S_{AC} = 2S_{AC} + 100$
$S_{AC} = 100$ км.

Зная $S_{AC}$, находим $S_{BC}$:
$S_{BC} = 100 + 50 = 150$ км.

На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?
Расстояние от пункта A до места встречи — это $S_{AC}$. Как мы вычислили выше, оно равно 100 км.
Ответ: встреча произошла на расстоянии 100 км от пункта А.

За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?
Полное время движения автомобиля складывается из времени до встречи и времени после встречи.
Время после встречи дано в условии: $t_{после} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = \frac{4}{3}$ часа.
Чтобы найти время до встречи $t_{до}$, нам нужно найти скорость автомобиля.
Из уравнения (5) находим скорость автомобиля $v_а$:
$S_{AC} = v_а \cdot \frac{4}{3} \implies 100 = v_а \cdot \frac{4}{3} \implies v_а = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ км/ч.
Время автомобиля до встречи — это время, за которое он проехал расстояние $S_{BC}$:
$t_{до} = \frac{S_{BC}}{v_а} = \frac{150 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Полное время движения автомобиля равно:
$T_а = t_{до} + t_{после} = 2 \text{ ч} + \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Переведем это значение в часы и минуты:
$\frac{10}{3} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа } + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}$.
Ответ: автомобиль прошёл всё расстояние за 3 часа 20 минут.