Номер 542, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 542, страница 209.

542 a) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5}$

б) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}$

Указание. Преобразуйте отдельно левую и правую части уравнения.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \ne -2, x \ne 3, x \ne -4, x \ne 5 $.

Следуя указанию, преобразуем отдельно левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x+2)(x-3) $:

$ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{(x-3) + (x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{2x-1}{x^2 - 3x + 2x - 6} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} $.

Преобразуем правую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x+4)(x-5) $:

$ \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} = \frac{(x-5) + (x+4)}{(x+4)(x-5)} = \frac{2x-1}{x^2 - 5x + 4x - 20} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ (2x-1) $ за скобки:

$ \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} - \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} = 0 $

$ (2x-1) \left( \frac{1}{x^2 - x - 6} - \frac{1}{x^2 - x - 20} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ 2x-1 = 0 $. Отсюда $ 2x=1 $, $ x = \frac{1}{2} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $ \frac{1}{x^2 - x - 6} - \frac{1}{x^2 - x - 20} = 0 $.

$ \frac{1}{x^2 - x - 6} = \frac{1}{x^2 - x - 20} $.

Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели (при условии, что они не равны нулю):

$ x^2 - x - 6 = x^2 - x - 20 $

Вычитая $ x^2 - x $ из обеих частей, получаем: $ -6 = -20 $. Это неверное равенство, следовательно, во втором случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $ x = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \ne 1, x \ne 2, x \ne 3, x \ne 4 $.

Следуя указанию, преобразуем отдельно левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x-1)(x-2) $:

$ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x-2-x+1}{x^2 - 2x - x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 3x + 2} $.

Преобразуем правую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x-4) $:

$ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-4-x+3}{x^2 - 4x - 3x + 12} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12} $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{-1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12} $

Умножим обе части на -1:

$ \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x^2 - 7x + 12} $

Так как числители равны и не равны нулю, то должны быть равны и знаменатели:

$ x^2 - 3x + 2 = x^2 - 7x + 12 $

Вычитая $ x^2 $ из обеих частей, получаем:

$ -3x + 2 = -7x + 12 $

Перенесем слагаемые с $ x $ в левую часть, а числа — в правую:

$ -3x + 7x = 12 - 2 $

$ 4x = 10 $

$ x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

Полученный корень $ x=2.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен 1, 2, 3 или 4.

Ответ: $ x = 2.5 $.