Номер 526, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 526, страница 207.

526 a) $ \frac{x^4 - x^2 - 2x - 1}{x^4 - 3x^2 + 1} $

б) $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $

а) Чтобы упростить данное выражение, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Сначала рассмотрим числитель: $x^4 - x^2 - 2x - 1$. Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $x^4 - (x^2 + 2x + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Тогда числитель принимает вид $x^4 - (x+1)^2$. Это выражение является разностью квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x+1$. $x^4 - (x+1)^2 = (x^2)^2 - (x+1)^2 = (x^2 - (x+1))(x^2 + (x+1)) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $x^4 - 3x^2 + 1$. Преобразуем его, выделив полный квадрат: $x^4 - 3x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - x^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2$. Тогда знаменатель принимает вид $(x^2-1)^2 - x^2$. Это также разность квадратов, где $a = x^2 - 1$ и $b = x$. $(x^2-1)^2 - x^2 = ((x^2-1) - x)((x^2-1) + x) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$.

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{x^4 - x^2 - 2x - 1}{x^4 - 3x^2 + 1} = \frac{(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - x - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x^2 - x - 1 \ne 0$): $\frac{\cancel{(x^2 - x - 1)}(x^2 + x + 1)}{\cancel{(x^2 - x - 1)}(x^2 + x - 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x - 1}$.

Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x - 1}$

б) Для упрощения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель $x^4 - y^4$ представляет собой разность квадратов: $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Множитель $(x^2 - y^2)$ также является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Таким образом, числитель полностью раскладывается на множители: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.

Рассмотрим знаменатель: $x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (2x^3y + 2xy^3)$. Первая группа является полным квадратом: $(x^2+y^2)^2$. Во второй группе вынесем общий множитель $2xy$: $2xy(x^2+y^2)$. Тогда знаменатель принимает вид: $(x^2+y^2)^2 + 2xy(x^2+y^2)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2+y^2)$: $(x^2+y^2)((x^2+y^2) + 2xy) = (x^2+y^2)(x^2 + 2xy + y^2)$. Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. Следовательно, знаменатель равен: $(x^2+y^2)(x+y)^2$.

Теперь запишем исходную дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x+y)^2(x^2+y^2)}$.

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2+y^2)$ (при условии, что $x+y \ne 0$ и $x^2+y^2 \ne 0$): $\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}}{(x+y)^{\cancel{2}}\cancel{(x^2+y^2)}} = \frac{x-y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$