Номер 519, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 519, страница 206.

519 Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):

a) $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ при $x = 3$ и $y = 6$; $x = -2$ и $y = 4$; $x = 15$ и $y = 15$; $x = 0,2$ и $y = 0,3$;

б) $\frac{a - \frac{b^2}{a}}{b - \frac{a^2}{b}}$ при $a = 4$ и $b = -1$; $a = 0$ и $b = 10$; $a = 1,5$ и $b = 0,3$; $a = -16$ и $b = 16$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$, $y \ne 0$ и $x \ne y$.
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{y+x}{xy} : \frac{y-x}{xy} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x} = \frac{y+x}{y-x}$.
Теперь подставим заданные значения переменных в упрощенное выражение, предварительно проверив их на соответствие ОДЗ.

при x = 3 и y = 6:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{6+3}{6-3} = \frac{9}{3} = 3$.
Ответ: 3

при x = -2 и y = 4:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{4+(-2)}{4-(-2)} = \frac{4-2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

при x = 15 и y = 15:
Так как $x = y$, это значение не входит в ОДЗ. Знаменатель дроби $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ обращается в ноль. Деление на ноль невозможно.
Ответ: выражение не имеет смысла.

при x = 0,2 и y = 0,3:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$\frac{y+x}{y-x} = \frac{0,3+0,2}{0,3-0,2} = \frac{0,5}{0,1} = 5$.
Ответ: 5

б)

Сначала упростим данное выражение. ОДЗ: $a \ne 0$, $b \ne 0$ и $a^2 \ne b^2$ (т.е. $a \ne b$ и $a \ne -b$).
$\frac{a - \frac{b^2}{a}}{b - \frac{a^2}{b}} = \frac{\frac{a^2-b^2}{a}}{\frac{b^2-a^2}{b}} = \frac{a^2-b^2}{a} \cdot \frac{b}{b^2-a^2} = \frac{a^2-b^2}{a} \cdot \frac{b}{-(a^2-b^2)} = -\frac{b}{a}$.
Теперь подставим заданные значения переменных, предварительно проверив их на соответствие ОДЗ.

при a = 4 и b = -1:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

при a = 0 и b = 10:
Так как $a=0$, это значение не входит в ОДЗ. В исходном выражении в члене $\frac{b^2}{a}$ происходит деление на ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

при a = 1,5 и b = 0,3:
Значения удовлетворяют ОДЗ.
$-\frac{b}{a} = -\frac{0,3}{1,5} = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$

при a = -16 и b = 16:
Так как $a = -b$, это значение не входит в ОДЗ. Знаменатель исходного выражения $b - \frac{a^2}{b}$ обращается в ноль: $16 - \frac{(-16)^2}{16} = 16 - \frac{256}{16} = 16 - 16 = 0$. Деление на ноль невозможно.
Ответ: выражение не имеет смысла.