Страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (560–564).

560 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ выехал второй велосипедист. Они встретились через 48 мин после начала движения. Известно, что на каждые 300 м пути первый велосипедист тратил столько же времени, сколько второй на каждые 200 м пути. Сколько часов затратил на путь из пункта $A$ до пункта $B$ первый велосипедист, если расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ равно 28 км?

Обозначим скорость первого велосипедиста как $v_1$, а скорость второго — как $v_2$. Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 28$ км. Время, через которое велосипедисты встретились, $t_{встр} = 48$ минут.

Для удобства расчетов переведем все величины в единую систему измерения (километры и часы).
Время встречи в часах: $t_{встр} = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.

Из условия задачи известно, что на каждые 300 м пути первый велосипедист тратил столько же времени, сколько второй на каждые 200 м. Выразим это математически. Время ($t$) равно расстоянию ($d$), деленному на скорость ($v$), то есть $t = \frac{d}{v}$. Переведем метры в километры: 300 м = 0.3 км, 200 м = 0.2 км.
$\frac{0.3}{v_1} = \frac{0.2}{v_2}$
Используя правило пропорции, получаем:
$0.3 \cdot v_2 = 0.2 \cdot v_1$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3 \cdot v_2 = 2 \cdot v_1$
Отсюда получаем соотношение скоростей: $v_1 = \frac{3}{2} v_2 = 1.5 v_2$. Это означает, что скорость первого велосипедиста в 1.5 раза больше скорости второго.

Велосипедисты двигались навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_{встр}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
Подставим известные значения:
$28 = (v_1 + v_2) \cdot 0.8$
Найдем сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{28}{0.8} = \frac{280}{8} = 35$ км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $v_1 = 1.5 v_2$
2) $v_1 + v_2 = 35$
Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:
$1.5 v_2 + v_2 = 35$
$2.5 v_2 = 35$
$v_2 = \frac{35}{2.5} = \frac{350}{25} = 14$ км/ч.
Теперь найдем скорость первого велосипедиста, подставив значение $v_2$ в первое уравнение:
$v_1 = 1.5 \cdot v_2 = 1.5 \cdot 14 = 21$ км/ч.

Вопрос задачи — найти, сколько часов затратил на весь путь из пункта А в пункт В первый велосипедист. Обозначим это время как $T_1$.
$T_1 = \frac{S}{v_1}$
$T_1 = \frac{28 \text{ км}}{21 \text{ км/ч}} = \frac{28}{21} \text{ ч}$
Сократим дробь на 7:
$T_1 = \frac{4}{3}$ ч.
Дробь $\frac{4}{3}$ часа можно представить как $1 \frac{1}{3}$ часа, что равно 1 часу и 20 минутам. В ответе оставим значение в часах в виде неправильной дроби для точности.

Ответ: $\frac{4}{3}$ часа.

561 Два велосипедиста одновременно стартовали по кольцевому шоссе на 50 км. Известно, что первый велосипедист через 30 мин после старта опережал второго на 500 м и пришёл к финишу на 5 мин раньше второго. Найдите скорость первого велосипедиста.

Пусть $v_1$ — скорость первого велосипедиста (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго велосипедиста (в км/ч). Длина кольцевого шоссе $S = 50$ км.

Из первого условия известно, что через 30 минут ($0.5$ часа) после старта первый велосипедист опережал второго на 500 м ($0.5$ км). За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 0.5$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 0.5$. Разница в расстоянии составляет $0.5$ км. Составим первое уравнение:
$S_1 - S_2 = 0.5$
$0.5 v_1 - 0.5 v_2 = 0.5$
Разделив обе части уравнения на $0.5$, получим:
$v_1 - v_2 = 1$
Отсюда можно выразить скорость второго велосипедиста:
$v_2 = v_1 - 1$

Из второго условия известно, что первый велосипедист пришёл к финишу на 5 минут ($\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ часа) раньше второго. Время, которое затратил первый велосипедист на всю дистанцию, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$. Время второго велосипедиста — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$. Так как первый приехал раньше, его время меньше. Составим второе уравнение:
$t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $v_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{50}{v_1 - 1} - \frac{50}{v_1} = \frac{1}{12}$

Решим это уравнение относительно $v_1$. Приведём дроби в левой части к общему знаменателю:
$50 \left( \frac{1}{v_1 - 1} - \frac{1}{v_1} \right) = \frac{1}{12}$
$50 \left( \frac{v_1 - (v_1 - 1)}{v_1(v_1 - 1)} \right) = \frac{1}{12}$
$50 \left( \frac{1}{v_1^2 - v_1} \right) = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{v_1^2 - v_1} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим:
$v_1^2 - v_1 = 50 \cdot 12$
$v_1^2 - v_1 = 600$
$v_1^2 - v_1 - 600 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$
$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$
Найдем корни уравнения:
$v_{1,1} = \frac{-(-1) + 49}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$
$v_{1,2} = \frac{-(-1) - 49}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{1,2} = -24$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.

562 Два мотоциклиста одновременно стартовали по шоссе на 100 км. Известно, что первый мотоциклист пришёл к финишу на 6 мин 40 с раньше второго и каждые 100 м проезжал за то время, за которое второй проезжал 90 м. Найдите скорость первого мотоциклиста.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго мотоциклистов, а $t_1$ и $t_2$ — их время в пути соответственно. Расстояние, которое они проехали, составляет $S = 100$ км.

Из условия, что первый мотоциклист проезжает 100 м за то же время, за которое второй проезжает 90 м, следует, что отношение их скоростей постоянно:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{100}{90} = \frac{10}{9}$.

Поскольку оба мотоциклиста проезжают одинаковое расстояние $S$, время в пути обратно пропорционально скорости ($t = S/v$). Таким образом, отношение их времен в пути будет:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{S/v_2}{S/v_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{10}{9}$.
Отсюда получаем, что $t_2 = \frac{10}{9}t_1$.

По условию, первый мотоциклист прибыл к финишу на 6 мин 40 с раньше второго. Выразим эту разницу во времени в секундах, чтобы работать в единой системе единиц:
$\Delta t = 6 \text{ мин } 40 \text{ с} = 6 \times 60 \text{ с} + 40 \text{ с} = 360 \text{ с} + 40 \text{ с} = 400 \text{ с}$.
Это означает, что разница во времени их заездов составляет $t_2 - t_1 = 400$ с.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $t_1$ и $t_2$:
$t_2 - t_1 = 400$
$t_2 = \frac{10}{9}t_1$
Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти время первого мотоциклиста:
$\frac{10}{9}t_1 - t_1 = 400$
$(\frac{10}{9} - 1)t_1 = 400$
$\frac{1}{9}t_1 = 400$
$t_1 = 400 \times 9 = 3600 \text{ с}$.

Время первого мотоциклиста $t_1$ составляет 3600 секунд. Переведем это время в часы для удобства расчета скорости в км/ч:
$t_1 = 3600 \text{ с} = 1 \text{ час}$.
Теперь мы можем найти скорость первого мотоциклиста, зная расстояние $S = 100$ км и время $t_1 = 1$ час:
$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{100 \text{ км}}{1 \text{ час}} = 100 \text{ км/ч}$.

Ответ: 100 км/ч.

563 Художник выставил на продажу две картины — пейзаж и натюрморт. Первая была продана на $20\%$ дешевле первоначальной цены, а вторую удалось продать на $20\%$ дороже её первоначальной стоимости. В результате обе картины были проданы по одной и той же цене. У какой картины первоначальная стоимость была выше и во сколько раз?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная стоимость первой картины, которая была продана со скидкой, а $y$ — первоначальная стоимость второй картины, которая была продана с наценкой.

Первая картина была продана на 20% дешевле своей первоначальной цены. Это означает, что её продали за $100\% - 20\% = 80\%$ от начальной стоимости. Цена её продажи составляет:$x \cdot (1 - 0.20) = 0.8x$

Вторая картина была продана на 20% дороже своей первоначальной стоимости. Это означает, что её продали за $100\% + 20\% = 120\%$ от начальной стоимости. Цена её продажи составляет:$y \cdot (1 + 0.20) = 1.2y$

Согласно условию задачи, обе картины были проданы по одинаковой цене. Мы можем приравнять выражения для их цен продажи и составить уравнение:$0.8x = 1.2y$

Чтобы определить, какая изначальная стоимость была выше и во сколько раз, найдем отношение $x$ к $y$. Для этого разделим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$), а затем на $0.8$:$\frac{0.8x}{y} = 1.2$$\frac{x}{y} = \frac{1.2}{0.8}$

Теперь упростим полученную дробь, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим:$\frac{x}{y} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Из полученного соотношения $x = 1.5y$ видно, что первоначальная стоимость первой картины ($x$) в 1,5 раза больше первоначальной стоимости второй картины ($y$).

Ответ: Первоначальная стоимость картины, которая была продана на 20% дешевле, была выше в 1,5 раза.

564 Утром в магазин завезли груши и яблоки. За день было продано 60% груш и 50% яблок. К концу рабочего дня груш в магазине оказалось в 2 раза больше, чем яблок. Каких фруктов было завезено больше и во сколько раз?

Каких фруктов было завезено больше и во сколько раз?

Пусть $Г$ — это первоначальное количество груш, которое завезли в магазин, а $Я$ — первоначальное количество яблок.

За день продали 60% груш, значит, в магазине осталось $100\% - 60\% = 40\%$ от начального количества. В виде десятичной дроби это составляет $0.4$ от общего количества груш, то есть $0.4 \times Г$.

За тот же день продали 50% яблок, значит, в магазине осталось $100\% - 50\% = 50\%$ от начального количества. В виде десятичной дроби это составляет $0.5$ от общего количества яблок, то есть $0.5 \times Я$.

По условию задачи, к концу дня оставшихся груш было в 2 раза больше, чем оставшихся яблок. Составим на основе этого равенство:

$0.4 \times Г = 2 \times (0.5 \times Я)$

Упростим правую часть уравнения:

$0.4 \times Г = 1 \times Я$

$0.4 \times Г = Я$

Теперь, чтобы выяснить, каких фруктов было завезено больше и во сколько раз, найдем отношение первоначального количества груш ($Г$) к первоначальному количеству яблок ($Я$). Для этого выразим из уравнения отношение $\frac{Г}{Я}$:

$\frac{Г}{Я} = \frac{1}{0.4}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{Г}{Я} = \frac{10}{4}$

$\frac{Г}{Я} = 2.5$

Это означает, что $Г = 2.5 \times Я$. Следовательно, груш было завезено в 2.5 раза больше, чем яблок.

Ответ: Груш было завезено больше в 2.5 раза.