Номер 561, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 561, страница 212.

561 Два велосипедиста одновременно стартовали по кольцевому шоссе на 50 км. Известно, что первый велосипедист через 30 мин после старта опережал второго на 500 м и пришёл к финишу на 5 мин раньше второго. Найдите скорость первого велосипедиста.

Пусть $v_1$ — скорость первого велосипедиста (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго велосипедиста (в км/ч). Длина кольцевого шоссе $S = 50$ км.

Из первого условия известно, что через 30 минут ($0.5$ часа) после старта первый велосипедист опережал второго на 500 м ($0.5$ км). За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 0.5$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 0.5$. Разница в расстоянии составляет $0.5$ км. Составим первое уравнение:
$S_1 - S_2 = 0.5$
$0.5 v_1 - 0.5 v_2 = 0.5$
Разделив обе части уравнения на $0.5$, получим:
$v_1 - v_2 = 1$
Отсюда можно выразить скорость второго велосипедиста:
$v_2 = v_1 - 1$

Из второго условия известно, что первый велосипедист пришёл к финишу на 5 минут ($\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ часа) раньше второго. Время, которое затратил первый велосипедист на всю дистанцию, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$. Время второго велосипедиста — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$. Так как первый приехал раньше, его время меньше. Составим второе уравнение:
$t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $v_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{50}{v_1 - 1} - \frac{50}{v_1} = \frac{1}{12}$

Решим это уравнение относительно $v_1$. Приведём дроби в левой части к общему знаменателю:
$50 \left( \frac{1}{v_1 - 1} - \frac{1}{v_1} \right) = \frac{1}{12}$
$50 \left( \frac{v_1 - (v_1 - 1)}{v_1(v_1 - 1)} \right) = \frac{1}{12}$
$50 \left( \frac{1}{v_1^2 - v_1} \right) = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{v_1^2 - v_1} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим:
$v_1^2 - v_1 = 50 \cdot 12$
$v_1^2 - v_1 = 600$
$v_1^2 - v_1 - 600 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$
$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$
Найдем корни уравнения:
$v_{1,1} = \frac{-(-1) + 49}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$
$v_{1,2} = \frac{-(-1) - 49}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{1,2} = -24$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.