Номер 556, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 556, страница 211.

556 При каких значениях p система уравнений имеет решение:

а) $\begin{cases}x - y = 7 \\2x + 3y = -1 \\0.5x + 2y = p\end{cases}$

б) $\begin{cases}y - 2x = 3 \\3x - 2y = -7 \\x + y = p\end{cases}$

a) Чтобы данная система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекались в одной точке. Найдем точку пересечения, решив систему из первых двух уравнений, которые не содержат параметр $p$:

$$ \begin{cases} x - y = 7 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 7 + y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(7 + y) + 3y = -1$

$14 + 2y + 3y = -1$

$5y = -1 - 14$

$5y = -15$

$y = -3$

Теперь, зная $y$, найдем $x$:

$x = 7 + (-3) = 4$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(4; -3)$. Чтобы вся система была совместна (имела решение), эта точка должна удовлетворять и третьему уравнению. Подставим найденные значения $x=4$ и $y=-3$ в третье уравнение:

$0,5x + 2y = p$

$0,5 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = p$

$2 - 6 = p$

$p = -4$

Ответ: при $p = -4$.

б) Действуем по аналогии с пунктом а). Решим систему из первых двух уравнений:

$$ \begin{cases} y - 2x = 3 \\ 3x - 2y = -7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x + 3$. Подставим это во второе уравнение:

$3x - 2(2x + 3) = -7$

$3x - 4x - 6 = -7$

$-x = -7 + 6$

$-x = -1$

$x = 1$

Теперь найдем $y$:

$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

Точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; 5)$. Подставим эти значения в третье уравнение, чтобы найти $p$:

$x + y = p$

$1 + 5 = p$

$p = 6$

Ответ: при $p = 6$.