Номер 560, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 560, страница 212.

Решите задачу (560–564).

560 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ выехал второй велосипедист. Они встретились через 48 мин после начала движения. Известно, что на каждые 300 м пути первый велосипедист тратил столько же времени, сколько второй на каждые 200 м пути. Сколько часов затратил на путь из пункта $A$ до пункта $B$ первый велосипедист, если расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ равно 28 км?

Обозначим скорость первого велосипедиста как $v_1$, а скорость второго — как $v_2$. Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 28$ км. Время, через которое велосипедисты встретились, $t_{встр} = 48$ минут.

Для удобства расчетов переведем все величины в единую систему измерения (километры и часы).
Время встречи в часах: $t_{встр} = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.

Из условия задачи известно, что на каждые 300 м пути первый велосипедист тратил столько же времени, сколько второй на каждые 200 м. Выразим это математически. Время ($t$) равно расстоянию ($d$), деленному на скорость ($v$), то есть $t = \frac{d}{v}$. Переведем метры в километры: 300 м = 0.3 км, 200 м = 0.2 км.
$\frac{0.3}{v_1} = \frac{0.2}{v_2}$
Используя правило пропорции, получаем:
$0.3 \cdot v_2 = 0.2 \cdot v_1$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3 \cdot v_2 = 2 \cdot v_1$
Отсюда получаем соотношение скоростей: $v_1 = \frac{3}{2} v_2 = 1.5 v_2$. Это означает, что скорость первого велосипедиста в 1.5 раза больше скорости второго.

Велосипедисты двигались навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_{встр}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
Подставим известные значения:
$28 = (v_1 + v_2) \cdot 0.8$
Найдем сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{28}{0.8} = \frac{280}{8} = 35$ км/ч.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $v_1 = 1.5 v_2$
2) $v_1 + v_2 = 35$
Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:
$1.5 v_2 + v_2 = 35$
$2.5 v_2 = 35$
$v_2 = \frac{35}{2.5} = \frac{350}{25} = 14$ км/ч.
Теперь найдем скорость первого велосипедиста, подставив значение $v_2$ в первое уравнение:
$v_1 = 1.5 \cdot v_2 = 1.5 \cdot 14 = 21$ км/ч.

Вопрос задачи — найти, сколько часов затратил на весь путь из пункта А в пункт В первый велосипедист. Обозначим это время как $T_1$.
$T_1 = \frac{S}{v_1}$
$T_1 = \frac{28 \text{ км}}{21 \text{ км/ч}} = \frac{28}{21} \text{ ч}$
Сократим дробь на 7:
$T_1 = \frac{4}{3}$ ч.
Дробь $\frac{4}{3}$ часа можно представить как $1 \frac{1}{3}$ часа, что равно 1 часу и 20 минутам. В ответе оставим значение в часах в виде неправильной дроби для точности.

Ответ: $\frac{4}{3}$ часа.