Номер 558, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 558, страница 211.

558 1) Докажите алгебраическим методом, что система уравнений $\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$ имеет решение, и притом только одно. Дайте графическую иллюстрацию данного утверждения.

2) Найдите такое значение $r$, при котором система уравнений $\begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \\ x^2 + y^2 = r^2 \end{cases}$ имеет решение.

1)

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $$

Для нахождения решения сначала решим подсистему из первых двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Сложив эти два уравнения, получаем:

$$(2x - y) + (x + y) = 4 + 2$$

$$3x = 6$$

$$x = 2$$

Подставим значение $x=2$ во второе уравнение $x+y=2$:

$$2 + y = 2$$

$$y = 0$$

Таким образом, единственным решением подсистемы линейных уравнений является точка $(2, 0)$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта точка третьему уравнению системы $x^2 + y^2 = 4$:

$$2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$$

Равенство $4=4$ верно. Поскольку единственное решение первых двух уравнений также является решением третьего уравнения, вся система имеет единственное решение.

Графическая иллюстрация

В координатной плоскости каждое уравнение задает геометрическую фигуру:

$2x - y = 4$ (или $y = 2x - 4$) — это прямая.

$x + y = 2$ (или $y = -x + 2$) — это вторая прямая.

$x^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r=\sqrt{4}=2$.

Решение системы — это точка, общая для всех трех фигур. Две прямые пересекаются в точке $(2, 0)$, как мы выяснили ранее. Эта точка также лежит на окружности, так как расстояние от нее до центра $(0,0)$ равно 2. Таким образом, все три графика пересекаются в единственной точке $(2, 0)$, что и иллюстрирует единственность решения.

Ответ: Доказано, что система имеет единственное решение $(2, 0)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \\ x^2 + y^2 = r^2 \end{cases} $$

Система имеет решение, если точка пересечения первых двух прямых лежит на окружности, заданной третьим уравнением. Найдем эту точку пересечения, решив систему:

$$ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(y - 3) + 2y = 6$$

$$3y - 3 = 6$$

$$3y = 9$$

$$y = 3$$

Теперь найдем $x$:

$$x = 3 - 3 = 0$$

Точка пересечения прямых — $(0, 3)$.

Чтобы система имела решение, эта точка должна удовлетворять третьему уравнению $x^2 + y^2 = r^2$. Подставим в него координаты точки:

$$0^2 + 3^2 = r^2$$

$$9 = r^2$$

Поскольку $r$ в уравнении окружности обозначает радиус, его значение должно быть неотрицательным ($r \ge 0$). Следовательно, $r = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $r=3$.