Номер 10, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 10, страница 215.

10 Решите задачу:

а) Прямоугольный участок земли площадью $60\text{ м}^2$ обнесён изгородью, длина которой 32 м. Найдите стороны участка.

б) Диагональ прямоугольника равна 20 см, а одна сторона на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

а)
Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.
Площадь участка $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 60 \text{ м}^2$.
Следовательно, у нас есть первое уравнение: $a \cdot b = 60$.
Длина изгороди — это периметр прямоугольника $P$, который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 32 \text{ м}$.
Следовательно, у нас есть второе уравнение: $2(a+b) = 32$.
Из второго уравнения найдем сумму сторон: $a+b = \frac{32}{2} = 16$.
Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} a+b = 16 \\ a \cdot b = 60 \end{cases}$
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Подставим наши значения: $x^2 - 16x + 60 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16+4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16-4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Таким образом, стороны участка равны 10 м и 6 м.
Ответ: стороны участка равны 10 м и 6 м.

б)
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров. Диагональ $d = 20$ см.
По условию, одна сторона на 4 см больше другой. Пусть $a = b+4$.
В прямоугольнике диагональ и две смежные стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$.
Подставим известные значения в уравнение:
$(b+4)^2 + b^2 = 20^2$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$b^2 + 8b + 16 + b^2 = 400$
$2b^2 + 8b + 16 - 400 = 0$
$2b^2 + 8b - 384 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$b^2 + 4b - 192 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$.
Найдем корни уравнения:
$b_1 = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+28}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$b_2 = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4-28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $b=12$ см.
Теперь найдем вторую сторону: $a = b+4 = 12+4 = 16$ см.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.