Номер 6, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 6, страница 215.

6 Решите уравнение:

а) $ \frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2} $;

Б) $ \frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4} $;

В) $ x + \frac{4}{x} = 4 $;

Г) $ \frac{x^2-7x-8}{x+1} = 0 $;

Д) $ \frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1} $;

Е) $ \frac{1-x}{2-x} = 2 $.

а) Исходное уравнение: $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Приведем уравнение к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$ и умножим обе части на него, чтобы избавиться от дробей:
$3(x-2) - 5(x+2)(x-2) = 4(x+2)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$3x - 6 - 5(x^2 - 4) = 4x + 8$
$3x - 6 - 5x^2 + 20 = 4x + 8$
$-5x^2 + 3x + 14 = 4x + 8$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$-5x^2 + 3x - 4x + 14 - 8 = 0$
$-5x^2 - x + 6 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$5x^2 + x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$
Оба корня ($1$ и $-1.2$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
Ответ: $-1.2; 1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Общий знаменатель для дробей в уравнении равен $4x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$4(x-3)(x+3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3)$
Раскроем скобки и упростим:
$4(x^2 - 9) + 28x = 5x^2 + 15x$
$4x^2 - 36 + 28x = 5x^2 + 15x$
Перенесем все члены в правую часть:
$5x^2 - 4x^2 + 15x - 28x + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $13$, а их произведение равно $36$. Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.
Оба корня ($4$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -3$).
Ответ: $4; 9$.

в) Исходное уравнение: $x + \frac{4}{x} = 4$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ (который не равен нулю согласно ОДЗ):
$x \cdot x + 4 = 4 \cdot x$
$x^2 + 4 = 4x$
Перенесем все в левую часть:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x-2)^2 = 0$
$x-2=0$
$x=2$
Найденный корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $2$.

г) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} x^2 - 7x - 8 = 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $-8$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \neq -1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию. Это посторонний корень.
Таким образом, у исходного уравнения только одно решение.
Ответ: $8$.

д) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -1$.
Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$x(x+1) = 10(x-2)$
Раскроем скобки:
$x^2 + x = 10x - 20$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 10x + 20 = 0$
$x^2 - 9x + 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Оба корня ($4$ и $5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).
Ответ: $4; 5$.

е) Исходное уравнение: $\frac{1-x}{2-x} = 2$.
ОДЗ: $2-x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2-x)$:
$1-x = 2(2-x)$
Раскроем скобки:
$1-x = 4 - 2x$
Соберем переменные в левой части, а константы в правой:
$2x - x = 4 - 1$
$x = 3$
Полученный корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $3$.