Номер 10, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 10, страница 214.

10 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение

$\frac{1}{x} = 4 - x^2$

Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $ \frac{1}{x} = 4 - x^2 $, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Это функции $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = 4 - x^2 $. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($Ox$ и $Oy$) являются асимптотами для этой гиперболы.

График функции $ y = 4 - x^2 $ — это парабола. Она получена из графика $ y = -x^2 $ сдвигом вверх на 4 единицы. Ветви этой параболы направлены вниз, а её вершина находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $y=0$, то есть $4 - x^2 = 0$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

Построим эскизы этих двух графиков в одной системе координат.

• В I координатной четверти ($x > 0$) ветвь гиперболы идет из бесконечности вниз, а парабола идет от своей вершины $(0, 4)$ вниз, пересекая ось $Ox$ в точке $(2, 0)$. Видно, что графики пересекаются в этой четверти дважды.
• В III координатной четверти ($x < 0$) ветвь гиперболы идет от оси $Ox$ вниз к минус бесконечности, а парабола идет от точки $(-2, 0)$ также вниз. Графики пересекаются в этой четверти один раз.
• Во II и IV четвертях пересечений нет, так как ветви гиперболы в них отсутствуют.

Следовательно, общее количество точек пересечения графиков равно трем. Это означает, что исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: 3