Номер 3, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 214.

3 Как доказывают тождества? Докажите тождество:

$x(x + y) - y(x + y) = x^2 - y^2.$

Как доказывают тождества?

Тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать тождество, необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого используют тождественные преобразования. Существует несколько основных способов доказательства:

• Преобразование левой части к правой. Выполняют алгебраические преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т.д.) над выражением в левой части равенства до тех пор, пока оно не станет идентичным выражению в правой части.
• Преобразование правой части к левой. Аналогично первому способу, но преобразования выполняются над правой частью равенства. Этот способ удобен, если правая часть выглядит сложнее левой.
• Преобразование обеих частей к одному и тому же выражению. Иногда проще упростить обе части равенства по отдельности. Если в результате преобразований левая и правая части приводятся к одному и тому же выражению, тождество считается доказанным.
• Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю. Переносят все члены из правой части в левую (или наоборот) и доказывают, что получившееся выражение тождественно равно нулю.

Докажите тождество: $x(x + y) - y(x + y) = x^2 - y^2$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Рассмотрим левую часть тождества: $x(x + y) - y(x + y)$.

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $a(b + c) = ab + ac$:

$x(x + y) - y(x + y) = (x \cdot x + x \cdot y) - (y \cdot x + y \cdot y) = (x^2 + xy) - (xy + y^2)$

2. Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$x^2 + xy - xy - y^2$

3. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $xy$ и $-xy$ являются противоположными, и их сумма равна нулю ($xy - xy = 0$):

$x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части: $x^2 - y^2 = x^2 - y^2$.

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ является более коротким и изящным.

1. В левой части выражения $x(x + y) - y(x + y)$ слагаемые $x(x + y)$ и $-y(x + y)$ имеют общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(x - y)$

2. Полученное выражение представляет собой известную формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Применим ее:

$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$

Левая часть тождества снова приведена к виду правой части.

Поскольку в результате тождественных преобразований левая часть выражения стала равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.