Номер 4, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 215.

4. Упростите выражение

$ \left( \frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y} \right) : \frac{4}{x^2 - y^2} $

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала вычитание в скобках, затем деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках

Выражение в скобках: $\frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение знаменателей $(x+y)(x-y)$.

$\frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{(x+y)(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Объединим дроби под одним знаменателем и воспользуемся формулами сокращенного умножения для числителя: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$\frac{(x-y)^2 - (x+y)^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x^2-2xy+y^2) - (x^2+2xy+y^2)}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2-2xy+y^2 - x^2-2xy-y^2}{x^2-y^2} = \frac{-4xy}{x^2-y^2}$

2. Выполним деление

Теперь разделим результат первого действия на дробь $\frac{4}{x^2 - y^2}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-4xy}{x^2-y^2} : \frac{4}{x^2-y^2} = \frac{-4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{4}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $4$ и выражение $(x^2-y^2)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются (при условии, что $x^2-y^2 \neq 0$).

$\frac{-4xy \cdot (x^2-y^2)}{(x^2-y^2) \cdot 4} = -xy$

Упрощение справедливо при области допустимых значений: $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Ответ: $-xy$