Номер 11, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 11, страница 217.

11 Периметр прямоугольника равен 15 см, а его площадь 14 $см^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника вычисляются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

По условию задачи, периметр равен 15 см, а площадь — 14 см². Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 15 \\ a \cdot b = 14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим сумму сторон $(a + b)$:

$a + b = \frac{15}{2} = 7.5$

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:

$b = \frac{14}{a}$

Теперь подставим выражение для $b$ в уравнение для суммы сторон:

$a + \frac{14}{a} = 7.5$

Чтобы решить это уравнение, умножим все его члены на $a$ (поскольку длина стороны не может быть равна нулю, $a \ne 0$):

$a^2 + 14 = 7.5a$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - 7.5a + 14 = 0$

Решим это уравнение. Для удобства можно умножить его на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$2a^2 - 15a + 28 = 0$

Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 28 = 225 - 224 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$a_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$

Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Теперь найдем значения для второй стороны $b$:

Если $a = 4$ см, то $b = \frac{14}{4} = 3.5$ см.

Если $a = 3.5$ см, то $b = \frac{14}{3.5} = 4$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 4 см и 3,5 см.

Выполним проверку:

Периметр: $2(4 + 3.5) = 2 \cdot 7.5 = 15$ см.

Площадь: $4 \cdot 3.5 = 14$ см².

Результаты соответствуют условию задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 3,5 см.